平面上の2点 $A(3, 8)$ と $B(-5, 2)$ が与えられています。 (1) 線分ABを3:1に内分する点の座標を求めます。 (2) 線分ABの中点の座標を求めます。

1. 問題の内容

平面上の2点 $A(3, 8)$ と $B(-5, 2)$ が与えられています。

(1) 線分ABを3:1に内分する点の座標を求めます。

(2) 線分ABの中点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを3:1に内分する点の座標を求める。

内分点の座標の公式は、$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ を $m:n$ に内分する点の座標 $(x, y)$ は以下のようになります。

$$x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \quad y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$$

この問題では、$A(3, 8)$、$B(-5, 2)$ を $3:1$ に内分するので、$x_1 = 3$, $y_1 = 8$, $x_2 = -5$, $y_2 = 2$, $m = 3$, $n = 1$ となります。

したがって、内分点の座標 $(x, y)$ は、

$$x = \frac{1 \cdot 3 + 3 \cdot (-5)}{3+1} = \frac{3 - 15}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$

$$y = \frac{1 \cdot 8 + 3 \cdot 2}{3+1} = \frac{8 + 6}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$$

よって、線分ABを3:1に内分する点の座標は $(-3, \frac{7}{2})$ です。

(2) 線分ABの中点の座標を求める。

中点の座標の公式は、$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ の中点の座標 $(x, y)$ は以下のようになります。

$$x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

この問題では、$A(3, 8)$、$B(-5, 2)$ の中点なので、$x_1 = 3$, $y_1 = 8$, $x_2 = -5$, $y_2 = 2$ となります。

したがって、中点の座標 $(x, y)$ は、

$$x = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$y = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

よって、線分ABの中点の座標は $(-1, 5)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 線分ABを3:1に内分する点の座標：$(-3, \frac{7}{2})$

(2) 線分ABの中点の座標：$(-1, 5)$