与えられた条件を満たす直線の方程式を求める問題がいくつかあります。 Q16.9：点(1, -2)を通り傾き2の直線の方程式、及び点(-3, 4)を通り傾き-3の直線の方程式を求める。 Q16.10：与えられた2点を通る直線の方程式を求める。 Q16.11：与えられた方程式が表す図形を座標平面上に示す（方程式を求める必要はない）。 Q16.12：点(1, -2)を通り、与えられた直線に平行な直線の方程式を求める。 Q16.13：点(1, -2)を通り、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求める。 Q16.14：直線 $l: 2x + y - 5 = 0$ に関して、点 A(-4, 3)と対称な点Bの座標を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす直線の方程式を求める問題がいくつかあります。

Q16.9：点(1, -2)を通り傾き2の直線の方程式、及び点(-3, 4)を通り傾き-3の直線の方程式を求める。

Q16.10：与えられた2点を通る直線の方程式を求める。

Q16.11：与えられた方程式が表す図形を座標平面上に示す（方程式を求める必要はない）。

Q16.12：点(1, -2)を通り、与えられた直線に平行な直線の方程式を求める。

Q16.13：点(1, -2)を通り、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求める。

Q16.14：直線 $l: 2x + y - 5 = 0$ に関して、点 A(-4, 3)と対称な点Bの座標を求める。

2. 解き方の手順

Q16.9

(1) 傾き $m$ で点 $(x_1, y_1)$ を通る直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で与えられる。よって、点(1, -2)を通り傾き2の直線の方程式は

$y - (-2) = 2(x - 1)$

$y + 2 = 2x - 2$

$y = 2x - 4$

(2) 点(-3, 4)を通り傾き-3の直線の方程式は

$y - 4 = -3(x - (-3))$

$y - 4 = -3(x + 3)$

$y - 4 = -3x - 9$

$y = -3x - 5$

Q16.10

(1) 2点$(x_1, y_1)$と$(x_2, y_2)$を通る直線の方程式は $\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ で与えられる。よって、点(-1, 6)と(2, -6)を通る直線の方程式は

$\frac{y - 6}{x - (-1)} = \frac{-6 - 6}{2 - (-1)}$

$\frac{y - 6}{x + 1} = \frac{-12}{3}$

$\frac{y - 6}{x + 1} = -4$

$y - 6 = -4(x + 1)$

$y - 6 = -4x - 4$

$y = -4x + 2$

(2) 点(-2, -7)と(1, 2)を通る直線の方程式は

$\frac{y - (-7)}{x - (-2)} = \frac{2 - (-7)}{1 - (-2)}$

$\frac{y + 7}{x + 2} = \frac{9}{3}$

$\frac{y + 7}{x + 2} = 3$

$y + 7 = 3(x + 2)$

$y + 7 = 3x + 6$

$y = 3x - 1$

(3) 点(-2, 3)と(3, 3)を通る直線の方程式は

$\frac{y - 3}{x - (-2)} = \frac{3 - 3}{3 - (-2)}$

$\frac{y - 3}{x + 2} = \frac{0}{5}$

$y - 3 = 0$

$y = 3$

(4) 点(2, -3)と(2, 5)を通る直線の方程式は、x座標が等しいので $x = 2$ である。

Q16.11

(1) $\frac{1}{4}x + \frac{1}{5}y = 1$ は、x切片が4、y切片が5の直線。

(2) $3x - 7 = 0$ は、 $x = \frac{7}{3}$ であるから、y軸に平行な直線。

(3) $2y + 3 = 0$ は、$y = -\frac{3}{2}$ であるから、x軸に平行な直線。

Q16.12

(1) $2x - 3y + 2 = 0$ は、$y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$ と変形できる。よって傾きは $\frac{2}{3}$。点(1, -2)を通り傾き $\frac{2}{3}$ の直線の方程式は

$y - (-2) = \frac{2}{3}(x - 1)$

$y + 2 = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{8}{3}$

(2) $5x + 2y - 8 = 0$ は、$y = -\frac{5}{2}x + 4$ と変形できる。よって傾きは $-\frac{5}{2}$。点(1, -2)を通り傾き $-\frac{5}{2}$ の直線の方程式は

$y - (-2) = -\frac{5}{2}(x - 1)$

$y + 2 = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2}$

$y = -\frac{5}{2}x + \frac{1}{2}$

(3) $y = -3$ は水平な直線。点(1, -2)を通り$y = -3$に平行な直線は、$y = -2$

(4) $x = 5$ は垂直な直線。点(1, -2)を通り$x = 5$に平行な直線は、$x = 1$

Q16.13

(1) $x - y + 5 = 0$ は、$y = x + 5$ と変形できる。よって傾きは1。傾き1の直線に垂直な直線の傾きは-1。点(1, -2)を通り傾き-1の直線の方程式は

$y - (-2) = -1(x - 1)$

$y + 2 = -x + 1$

$y = -x - 1$

(2) $2x + 7y - 3 = 0$ は、$y = -\frac{2}{7}x + \frac{3}{7}$ と変形できる。よって傾きは $-\frac{2}{7}$。傾き $-\frac{2}{7}$ の直線に垂直な直線の傾きは $\frac{7}{2}$。点(1, -2)を通り傾き $\frac{7}{2}$ の直線の方程式は

$y - (-2) = \frac{7}{2}(x - 1)$

$y + 2 = \frac{7}{2}x - \frac{7}{2}$

$y = \frac{7}{2}x - \frac{11}{2}$

(3) $y = 2$ は水平な直線。点(1, -2)を通り$y = 2$に垂直な直線は、$x = 1$

(4) $x = 3$ は垂直な直線。点(1, -2)を通り$x = 3$に垂直な直線は、$y = -2$

Q16.14

点A(-4, 3)と直線 $l: 2x + y - 5 = 0$ に関して対称な点Bの座標を(x, y)とする。線分ABの中点Mは $(\frac{x-4}{2}, \frac{y+3}{2})$ であり、Mは直線l上にあるので、

$2(\frac{x-4}{2}) + \frac{y+3}{2} - 5 = 0$

$x - 4 + \frac{y+3}{2} - 5 = 0$

$2x - 8 + y + 3 - 10 = 0$

$2x + y - 15 = 0$

$y = -2x + 15$

また、直線ABは直線lに垂直なので、直線ABの傾きは直線lの傾きの逆数の符号を反転させたものに等しい。直線lの傾きは -2であるから、直線ABの傾きは $\frac{1}{2}$ である。

$\frac{y - 3}{x - (-4)} = \frac{1}{2}$

$2(y - 3) = x + 4$

$2y - 6 = x + 4$

$x = 2y - 10$

これらを連立させて解くと

$y = -2(2y - 10) + 15$

$y = -4y + 20 + 15$

$5y = 35$

$y = 7$

$x = 2(7) - 10 = 14 - 10 = 4$

3. 最終的な答え

Q16.9

(1) $y = 2x - 4$

(2) $y = -3x - 5$

Q16.10

(1) $y = -4x + 2$

(2) $y = 3x - 1$

(3) $y = 3$

(4) $x = 2$

Q16.11

(1) x切片が4、y切片が5の直線

(2) $x = \frac{7}{3}$ の直線

(3) $y = -\frac{3}{2}$ の直線

Q16.12

(1) $y = \frac{2}{3}x - \frac{8}{3}$

(2) $y = -\frac{5}{2}x + \frac{1}{2}$

(3) $y = -2$

(4) $x = 1$

Q16.13

(1) $y = -x - 1$

(2) $y = \frac{7}{2}x - \frac{11}{2}$

(3) $x = 1$

(4) $y = -2$

Q16.14

(4, 7)