与えられたデータ $X$ と $Y$ の独立なサンプルに基づいて、2変量正規分布を仮定したときの、周辺分布の期待値、分散、および $X$ と $Y$ の相関係数の最尤推定値を求めます。

1. 問題の内容

与えられたデータ $X$ と $Y$ の独立なサンプルに基づいて、2変量正規分布を仮定したときの、周辺分布の期待値、分散、および $X$ と $Y$ の相関係数の最尤推定値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられたデータに基づいて、以下の手順で最尤推定値を計算します。

(1) Xの（周辺分布の）期待値：

$X$ のサンプル平均を計算します。

$\bar{X} = \frac{3.14 + 0.76 - 0.52 + 0.54 - 0.23 + 1.29 + 1.63 + 3.89 + 2.41 + 1.32}{10} = \frac{14.23}{10} = 1.423$

小数第3位で四捨五入して、小数第2位まで求めると、1.42

(2) Yの（周辺分布の）期待値：

$Y$ のサンプル平均を計算します。

$\bar{Y} = \frac{0.96 + 1.25 + 0.35 + 2.97 + 4.24 + 1.38 - 1.76 + 5.73 + 5.43 + 0.30}{10} = \frac{20.85}{10} = 2.085$

小数第3位で四捨五入して、小数第2位まで求めると、2.09

(3) Xの（周辺分布の）分散：

$X$ のサンプル分散を計算します。

$S_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$

$S_X^2 = \frac{(3.14-1.423)^2 + (0.76-1.423)^2 + (-0.52-1.423)^2 + (0.54-1.423)^2 + (-0.23-1.423)^2 + (1.29-1.423)^2 + (1.63-1.423)^2 + (3.89-1.423)^2 + (2.41-1.423)^2 + (1.32-1.423)^2}{10-1}$

$S_X^2 = \frac{2.95 + 0.44 + 3.77 + 0.78 + 2.73 + 0.018 + 0.047 + 6.09 + 0.97 + 0.011}{9} = \frac{17.806}{9} = 1.978$

小数第3位で四捨五入して、小数第2位まで求めると、1.98

(4) Yの（周辺分布の）分散：

$Y$ のサンプル分散を計算します。

$S_Y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2}{n-1}$

$S_Y^2 = \frac{(0.96-2.085)^2 + (1.25-2.085)^2 + (0.35-2.085)^2 + (2.97-2.085)^2 + (4.24-2.085)^2 + (1.38-2.085)^2 + (-1.76-2.085)^2 + (5.73-2.085)^2 + (5.43-2.085)^2 + (0.30-2.085)^2}{10-1}$

$S_Y^2 = \frac{1.26 + 0.697 + 2.99 + 0.78 + 4.64 + 0.497 + 14.78 + 13.28 + 11.20 + 3.20}{9} = \frac{53.324}{9} = 5.925$

小数第3位で四捨五入して、小数第2位まで求めると、5.93

(5) XとYの相関係数：

$X$ と $Y$ のサンプル共分散を計算し、相関係数を計算します。

$Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n-1}$

$Cov(X, Y) = \frac{(3.14-1.423)(0.96-2.085) + (0.76-1.423)(1.25-2.085) + (-0.52-1.423)(0.35-2.085) + (0.54-1.423)(2.97-2.085) + (-0.23-1.423)(4.24-2.085) + (1.29-1.423)(1.38-2.085) + (1.63-1.423)(-1.76-2.085) + (3.89-1.423)(5.73-2.085) + (2.41-1.423)(5.43-2.085) + (1.32-1.423)(0.30-2.085)}{9}$

$Cov(X, Y) = \frac{-1.96 + 0.55 + 3.53 - 0.77 - 3.54 + 0.091 - 0.80 + 8.93 + 3.31 + 0.19}{9} = \frac{9.511}{9} = 1.057$

相関係数は $r = \frac{Cov(X, Y)}{S_X S_Y}$ で計算されます。

$r = \frac{1.057}{\sqrt{1.978} \sqrt{5.925}} = \frac{1.057}{\sqrt{11.719}} = \frac{1.057}{3.423} = 0.308$

小数第3位で四捨五入して、小数第2位まで求めると、0.31

3. 最終的な答え

- Xの（周辺分布の）期待値: 1.42

- Yの（周辺分布の）期待値: 2.09

- Xの（周辺分布の）分散: 1.98

- Yの（周辺分布の）分散: 5.93

- XとYの相関係数: 0.31