与えられたデータ（X, Y のサンプル）を用いて、X と Y の周辺分布の期待値と分散、および X と Y の相関係数の最尤推定値を求めます。母集団分布は2変量正規分布に従うと仮定します。

1. 問題の内容

与えられたデータ（X, Y のサンプル）を用いて、X と Y の周辺分布の期待値と分散、および X と Y の相関係数の最尤推定値を求めます。母集団分布は2変量正規分布に従うと仮定します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた X と Y のサンプルから、それぞれの平均と分散を計算します。

X のサンプル: 3.14, 0.76, -0.52, 0.54, -0.23, 1.29, 1.63, 3.89, 2.41, 1.32

Y のサンプル: 0.96, 1.25, 0.35, 2.97, 4.24, 1.38, -1.76, 5.73, 5.43, 0.30

1. X の期待値（平均）の計算:

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$

$\bar{X} = \frac{3.14 + 0.76 - 0.52 + 0.54 - 0.23 + 1.29 + 1.63 + 3.89 + 2.41 + 1.32}{10} = \frac{14.23}{10} = 1.423$

2. Y の期待値（平均）の計算:

$\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i$

$\bar{Y} = \frac{0.96 + 1.25 + 0.35 + 2.97 + 4.24 + 1.38 - 1.76 + 5.73 + 5.43 + 0.30}{10} = \frac{20.85}{10} = 2.085$

3. X の分散の計算:

$S_X^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$

$S_X^2 = \frac{1}{9}[(3.14-1.423)^2 + (0.76-1.423)^2 + (-0.52-1.423)^2 + (0.54-1.423)^2 + (-0.23-1.423)^2 + (1.29-1.423)^2 + (1.63-1.423)^2 + (3.89-1.423)^2 + (2.41-1.423)^2 + (1.32-1.423)^2]$

$S_X^2 = \frac{1}{9}[2.9529 + 0.4409 + 3.7001 + 0.7815 + 2.7321 + 0.0177 + 0.0428 + 6.0840 + 0.9744 + 0.0106] = \frac{17.737}{9} = 1.97077...$

4. Y の分散の計算:

$S_Y^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2$

$S_Y^2 = \frac{1}{9}[(0.96-2.085)^2 + (1.25-2.085)^2 + (0.35-2.085)^2 + (2.97-2.085)^2 + (4.24-2.085)^2 + (1.38-2.085)^2 + (-1.76-2.085)^2 + (5.73-2.085)^2 + (5.43-2.085)^2 + (0.30-2.085)^2]$

$S_Y^2 = \frac{1}{9}[1.2677 + 0.6972 + 3.0102 + 0.7832 + 4.6462 + 0.4970 + 14.7842 + 13.2832 + 11.2032 + 3.2502] = \frac{53.4223}{9} = 5.93581...$

5. X と Y の共分散の計算:

$Cov(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$

$Cov(X, Y) = \frac{1}{9}[(3.14-1.423)(0.96-2.085) + (0.76-1.423)(1.25-2.085) + (-0.52-1.423)(0.35-2.085) + (0.54-1.423)(2.97-2.085) + (-0.23-1.423)(4.24-2.085) + (1.29-1.423)(1.38-2.085) + (1.63-1.423)(-1.76-2.085) + (3.89-1.423)(5.73-2.085) + (2.41-1.423)(5.43-2.085) + (1.32-1.423)(0.30-2.085)]$

$Cov(X, Y) = \frac{1}{9}[(1.717)(-1.125) + (-0.663)(-0.835) + (-1.943)(-1.735) + (-0.883)(0.885) + (-1.653)(2.155) + (-0.133)(-0.705) + (0.207)(-3.845) + (2.467)(3.645) + (0.987)(3.345) + (-0.103)(-1.785)]$

$Cov(X, Y) = \frac{1}{9}[-1.931625 + 0.553505 + 3.369705 - 0.781255 - 3.562615 + 0.093765 - 0.796965 + 8.980115 + 3.301515 + 0.184255] = \frac{9.4104}{9} = 1.0456$

6. X と Y の相関係数の計算:

$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{S_X S_Y}$

$\rho_{XY} = \frac{1.0456}{\sqrt{1.97077} \sqrt{5.93581}} = \frac{1.0456}{\sqrt{11.6973}} = \frac{1.0456}{3.4201} = 0.3057$

小数第3位で四捨五入して、小数第2位まで求めます。

X の期待値: 1.42

Y の期待値: 2.09

X の分散: 1.97

Y の分散: 5.94

X と Y の相関係数: 0.31

3. 最終的な答え

* X の (周辺分布の) 期待値: 1.42

* Y の (周辺分布の) 期待値: 2.09

* X の (周辺分布の) 分散: 1.97

* Y の (周辺分布の) 分散: 5.94

* X と Y の相関係数: 0.31