与えられたデータは、母集団分布からのランダムサンプリングによるXとYの独立なサンプルです。母集団分布が2変量正規分布であると仮定したとき、以下の最尤推定値を求めます。 * Xの周辺分布の期待値 * Yの周辺分布の期待値 * Xの周辺分布の分散 * Yの周辺分布の分散 * XとYの相関係数

1. 問題の内容

与えられたデータは、母集団分布からのランダムサンプリングによるXとYの独立なサンプルです。母集団分布が2変量正規分布であると仮定したとき、以下の最尤推定値を求めます。

* Xの周辺分布の期待値

* Yの周辺分布の期待値

* Xの周辺分布の分散

* Yの周辺分布の分散

* XとYの相関係数

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータを用いて、XとYの期待値（平均）、分散、共分散を計算します。サンプルサイズは$n = 10$です。

Xのデータ：3.14, 0.76, -0.52, 0.54, -0.23, 1.29, 1.63, 3.89, 2.41, 1.32

Yのデータ：0.96, 1.25, 0.35, 2.97, 4.24, 1.38, -1.76, 5.73, 5.43, 0.30

Xの期待値（平均）を計算します。

$\bar{X} = \frac{3.14 + 0.76 - 0.52 + 0.54 - 0.23 + 1.29 + 1.63 + 3.89 + 2.41 + 1.32}{10} = \frac{14.23}{10} = 1.423$

Yの期待値（平均）を計算します。

$\bar{Y} = \frac{0.96 + 1.25 + 0.35 + 2.97 + 4.24 + 1.38 - 1.76 + 5.73 + 5.43 + 0.30}{10} = \frac{20.85}{10} = 2.085$

Xの分散を計算します。

$s_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$

$s_X^2 = \frac{(3.14-1.423)^2 + (0.76-1.423)^2 + (-0.52-1.423)^2 + (0.54-1.423)^2 + (-0.23-1.423)^2 + (1.29-1.423)^2 + (1.63-1.423)^2 + (3.89-1.423)^2 + (2.41-1.423)^2 + (1.32-1.423)^2}{9}$

$s_X^2 = \frac{2.950529 + 0.440889 + 3.700129 + 0.781489 + 2.732689 + 0.017689 + 0.042849 + 6.085729 + 0.974169 + 0.010609}{9} = \frac{17.73676}{9} \approx 1.97075111$

Yの分散を計算します。

$s_Y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2}{n-1}$

$s_Y^2 = \frac{(0.96-2.085)^2 + (1.25-2.085)^2 + (0.35-2.085)^2 + (2.97-2.085)^2 + (4.24-2.085)^2 + (1.38-2.085)^2 + (-1.76-2.085)^2 + (5.73-2.085)^2 + (5.43-2.085)^2 + (0.30-2.085)^2}{9}$

$s_Y^2 = \frac{1.2676 + 0.697225 + 2.992225 + 0.783225 + 4.646225 + 0.497025 + 14.763225 + 13.354225 + 11.201225 + 3.257225}{9} = \frac{53.4596}{9} \approx 5.93995556$

XとYの共分散を計算します。

$Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n-1}$

$Cov(X, Y) = \frac{(3.14-1.423)(0.96-2.085) + (0.76-1.423)(1.25-2.085) + (-0.52-1.423)(0.35-2.085) + (0.54-1.423)(2.97-2.085) + (-0.23-1.423)(4.24-2.085) + (1.29-1.423)(1.38-2.085) + (1.63-1.423)(-1.76-2.085) + (3.89-1.423)(5.73-2.085) + (2.41-1.423)(5.43-2.085) + (1.32-1.423)(0.30-2.085)}{9}$

$Cov(X, Y) = \frac{-1.854905 - (-0.663 * -0.835) + (-1.943 * -1.735) + (-0.883 * 0.885) + (-1.653 * 2.155) + (-0.133 * -0.705) + (0.207 * -3.845) + (2.467 * 3.645) + (0.987 * 3.345) + (-0.103 * -1.785)}{9}$

$Cov(X, Y) = \frac{-1.854905 -0.553605+ 3.370305 -0.781455 -3.561915 + 0.093765 -0.796065 + 8.985015 + 3.300015 + 0.184055}{9} = \frac{8.38525}{9} \approx 0.93169444$

XとYの相関係数を計算します。

$r = \frac{Cov(X, Y)}{s_X s_Y}$

$s_X = \sqrt{1.97075111} \approx 1.4038344$

$s_Y = \sqrt{5.93995556} \approx 2.437203$

$r = \frac{0.93169444}{1.4038344 * 2.437203} \approx \frac{0.93169444}{3.421456} \approx 0.2723$

3. 最終的な答え

Xの期待値: 1.42

Yの期待値: 2.09

Xの分散: 1.97

Yの分散: 5.94

XとYの相関係数: 0.27