与えられた式 $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算して簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、各項の二乗を展開します。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(b+c-a)^2 = (b+c)^2 - 2a(b+c) + a^2 = b^2 + 2bc + c^2 - 2ab - 2ac + a^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$

$(c+a-b)^2 = (c+a)^2 - 2b(c+a) + b^2 = c^2 + 2ac + a^2 - 2bc - 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ac$

$(a+b-c)^2 = (a+b)^2 - 2c(a+b) + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 2ac - 2bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$

与えられた式にこれらの展開したものを代入します。

$(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$

$= (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ac) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac)$

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2 + 2ab + 2ac - 2bc + a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ac - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab + 2bc + 2ac$

同類項をまとめます。

$= (a^2 - a^2 + a^2 - a^2) + (b^2 - b^2 + b^2 - b^2) + (c^2 - c^2 + c^2 - c^2) + (2ab + 2ab - 2ab - 2ab) + (2bc - 2bc - 2bc + 2bc) + (2ca + 2ca + 2ca + 2ca)$

$= 0a^2 + 0b^2 + 0c^2 + 0ab + 0bc + 8ca$

$= 8ca$

$= 8ac$

3. 最終的な答え

$8ac$