Q17.6: 次の双曲線について、図示し、頂点、焦点の座標、漸近線の方程式を求め、焦点から双曲線上の点までの距離の差を求める。 (1) $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ (2) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = -1$ (3) $x^2 - 9y^2 = 9$ (4) $4x^2 - 9y^2 = -36$ Q17.7: 次の放物線について、図示し、焦点の座標、準線の方程式を求める。 (1) $y^2 = 4x$ (2) $y^2 = -x$ (3) $x^2 = 2y$ (4) $x^2 = -8y$ Q17.8: 次の2次曲線と直線との共有点の座標を求める。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 4$, 直線 $x + y = 0$

1. 問題の内容

Q17.6: 次の双曲線について、図示し、頂点、焦点の座標、漸近線の方程式を求め、焦点から双曲線上の点までの距離の差を求める。

(1) $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$

(2) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = -1$

(3) $x^2 - 9y^2 = 9$

(4) $4x^2 - 9y^2 = -36$

Q17.7: 次の放物線について、図示し、焦点の座標、準線の方程式を求める。

(1) $y^2 = 4x$

(2) $y^2 = -x$

(3) $x^2 = 2y$

(4) $x^2 = -8y$

Q17.8: 次の2次曲線と直線との共有点の座標を求める。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$, 直線 $x + y = 0$

2. 解き方の手順

Q17.6 (1) $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$

これは双曲線であり、$a^2 = 16$、$b^2 = 9$である。したがって、$a=4$、$b=3$である。

頂点は$(\pm a, 0)$なので$(\pm 4, 0)$。

$c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$より$c=5$。焦点は$(\pm c, 0)$なので$(\pm 5, 0)$。

漸近線は$y = \pm \frac{b}{a}x$なので$y = \pm \frac{3}{4}x$。

焦点からの距離の差は$2a$なので$2(4) = 8$。

Q17.6 (2) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = -1$

これは双曲線であり、$a^2 = 4$、$b^2 = 1$である。

ただし、$-1$倍されているため、$x$と$y$が入れ替わる。$a=2$, $b=1$

頂点は$(0, \pm b)$なので$(0, \pm 1)$。

$c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 1 = 5$より$c = \sqrt{5}$。焦点は$(0, \pm c)$なので$(0, \pm \sqrt{5})$。

漸近線は$x = \pm \frac{a}{b}y$なので$x = \pm 2y$, つまり、$y = \pm \frac{1}{2}x$。

焦点からの距離の差は$2b$なので$2(1) = 2$。

Q17.6 (3) $x^2 - 9y^2 = 9$

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{1} = 1$

これは双曲線であり、$a^2 = 9$、$b^2 = 1$である。したがって、$a=3$、$b=1$である。

頂点は$(\pm a, 0)$なので$(\pm 3, 0)$。

$c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 1 = 10$より$c = \sqrt{10}$。焦点は$(\pm c, 0)$なので$(\pm \sqrt{10}, 0)$。

漸近線は$y = \pm \frac{b}{a}x$なので$y = \pm \frac{1}{3}x$。

焦点からの距離の差は$2a$なので$2(3) = 6$。

Q17.6 (4) $4x^2 - 9y^2 = -36$

$\frac{4x^2}{-36} - \frac{9y^2}{-36} = 1$

$-\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

$\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1$

これは双曲線であり、$a^2 = 9$、$b^2 = 4$である。ただし、$-1$倍されているため、$x$と$y$が入れ替わる。$a=3$, $b=2$

頂点は$(0, \pm b)$なので$(0, \pm 2)$。

$c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 4 = 13$より$c = \sqrt{13}$。焦点は$(0, \pm c)$なので$(0, \pm \sqrt{13})$。

漸近線は$x = \pm \frac{a}{b}y$なので$x = \pm \frac{3}{2}y$, つまり、$y = \pm \frac{2}{3}x$。

焦点からの距離の差は$2b$なので$2(2) = 4$。

Q17.7 (1) $y^2 = 4x$

これは放物線であり、$4p = 4$より$p = 1$。

焦点は$(p, 0)$なので$(1, 0)$。準線は$x = -p$なので$x = -1$。

Q17.7 (2) $y^2 = -x$

これは放物線であり、$4p = -1$より$p = -\frac{1}{4}$。

焦点は$(p, 0)$なので$(-\frac{1}{4}, 0)$。準線は$x = -p$なので$x = \frac{1}{4}$。

Q17.7 (3) $x^2 = 2y$

これは放物線であり、$4p = 2$より$p = \frac{1}{2}$。

焦点は$(0, p)$なので$(0, \frac{1}{2})$。準線は$y = -p$なので$y = -\frac{1}{2}$。

Q17.7 (4) $x^2 = -8y$

これは放物線であり、$4p = -8$より$p = -2$。

焦点は$(0, p)$なので$(0, -2)$。準線は$y = -p$なので$y = 2$。

Q17.8 (1) $x^2 + y^2 = 4$, $x + y = 0$

$y = -x$を$x^2 + y^2 = 4$に代入すると、$x^2 + (-x)^2 = 4$。

$x^2 + x^2 = 4$。

$2x^2 = 4$。

$x^2 = 2$。

$x = \pm \sqrt{2}$。

$x = \sqrt{2}$のとき、$y = -\sqrt{2}$。

$x = -\sqrt{2}$のとき、$y = \sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

Q17.6 (1)

頂点: $(\pm 4, 0)$、焦点: $(\pm 5, 0)$、漸近線: $y = \pm \frac{3}{4}x$、焦点からの距離の差: $8$

Q17.6 (2)

頂点: $(0, \pm 1)$、焦点: $(0, \pm \sqrt{5})$、漸近線: $y = \pm \frac{1}{2}x$、焦点からの距離の差: $2$

Q17.6 (3)

頂点: $(\pm 3, 0)$、焦点: $(\pm \sqrt{10}, 0)$、漸近線: $y = \pm \frac{1}{3}x$、焦点からの距離の差: $6$

Q17.6 (4)

頂点: $(0, \pm 2)$、焦点: $(0, \pm \sqrt{13})$、漸近線: $y = \pm \frac{2}{3}x$、焦点からの距離の差: $4$

Q17.7 (1)

焦点: $(1, 0)$、準線: $x = -1$

Q17.7 (2)

焦点: $(-\frac{1}{4}, 0)$、準線: $x = \frac{1}{4}$

Q17.7 (3)

焦点: $(0, \frac{1}{2})$、準線: $y = -\frac{1}{2}$

Q17.7 (4)

焦点: $(0, -2)$、準線: $y = 2$

Q17.8 (1)

共有点の座標: $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$、$(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$