$x(x+\frac{1}{x})^8$ を展開して $x$ について整理したときの定数項を求めます。

1. 問題の内容

$x(x+\frac{1}{x})^8$ を展開して $x$ について整理したときの定数項を求めます。

2. 解き方の手順

まず、二項定理を用いて $(x + \frac{1}{x})^8$ を展開します。二項定理より、

$(x + \frac{1}{x})^8 = \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} x^{8-k} (\frac{1}{x})^k = \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} x^{8-k} x^{-k} = \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} x^{8-2k}$

ここで、$\binom{8}{k}$ は二項係数です。

したがって、

$x(x + \frac{1}{x})^8 = x \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} x^{8-2k} = \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} x^{9-2k}$

定数項を求めるには、$x$ の指数が0になるような $k$ を探します。つまり、

$9 - 2k = 0$

これを解くと $k = \frac{9}{2} = 4.5$ となります。しかし、$k$ は整数でなければならないので、定数項は存在しません。

$9-2k=0$ となるkが存在しないので、最も$0$に近い$k$を考えます。

$9-2k=1$となる$k$は$4$

$9-2k=-1$となる$k$は$5$

$k=4$の時の項は、$\binom{8}{4} x^{9-2(4)} = \binom{8}{4} x^{1} = \binom{8}{4}x$

$k=5$の時の項は、$\binom{8}{5} x^{9-2(5)} = \binom{8}{5} x^{-1}$

しかし、問題文より定数項を求めたいので、解答が存在しないことを示します。

3. 最終的な答え

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