$x$ の式 $(x + \frac{1}{x})^8$ を展開して $x$ について整理したときの定数項を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の式 $(x + \frac{1}{x})^8$ を展開して $x$ について整理したときの定数項を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。

$(x + \frac{1}{x})^8$ の展開式における一般項は、

$$$$

{}_8 C_r \, x^{8-r} \, (\frac{1}{x})^r = {}_8 C_r \, x^{8-r} \, x^{-r} = {}_8 C_r \, x^{8-2r}

$$$$

となります。

定数項を求めるには、$x$ の指数が 0 になればよいので、

$8-2r=0$ を満たす $r$ を求めます。

$8-2r = 0$ より、 $2r = 8$ なので、$r=4$。

したがって、定数項は

$$$$

{}_8 C_4 = \frac{8!}{4! \, 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70

$$$$

3. 最終的な答え

70