問題は、$\sqrt{9+4\sqrt{5}} - \sqrt{9-4\sqrt{5}}$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$\sqrt{9+4\sqrt{5}} - \sqrt{9-4\sqrt{5}}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中身を $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ または $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形に変形することを考えます。

$\sqrt{9+4\sqrt{5}}$ について、$4\sqrt{5} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$ なので、$2\sqrt{5}$を $2ab$とみなすと、$a=2$、$b=\sqrt{5}$ となります。このとき、$a^2 + b^2 = 4 + 5 = 9$ となり、与えられた式の9と一致します。したがって、

$9+4\sqrt{5} = (2+\sqrt{5})^2$

同様に、$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ について、$4\sqrt{5} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$ なので、$2\sqrt{5}$を $2ab$とみなすと、$a=2$、$b=\sqrt{5}$ となります。このとき、$a^2 + b^2 = 4 + 5 = 9$ となり、与えられた式の9と一致します。したがって、

$9-4\sqrt{5} = (\sqrt{5}-2)^2$

よって、与えられた式は

$\sqrt{(2+\sqrt{5})^2} - \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}$

となります。

$\sqrt{x^2} = |x|$ であるので、

$|2+\sqrt{5}| - |\sqrt{5}-2|$

$2+\sqrt{5} > 0$ かつ $\sqrt{5}-2 > 0$ であるから、

$(2+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}-2)$

$= 2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} + 2$

$= 4$

3. 最終的な答え

4