$x = -1 + \sqrt{3}i$ (ここで $i$ は虚数単位) のとき、$x^3$ と $x^8 + \frac{1}{x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = -1 + \sqrt{3}i$ (ここで $i$ は虚数単位) のとき、$x^3$ と $x^8 + \frac{1}{x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^3$ を計算する。

$x = -1 + \sqrt{3}i$ なので、

$x^2 = (-1 + \sqrt{3}i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)(\sqrt{3}i) + (\sqrt{3}i)^2 = 1 - 2\sqrt{3}i - 3 = -2 - 2\sqrt{3}i$

$x^3 = x \cdot x^2 = (-1 + \sqrt{3}i)(-2 - 2\sqrt{3}i) = (-1)(-2) + (-1)(-2\sqrt{3}i) + (\sqrt{3}i)(-2) + (\sqrt{3}i)(-2\sqrt{3}i) = 2 + 2\sqrt{3}i - 2\sqrt{3}i - 2(3)i^2 = 2 + 6 = 8$

次に、$x^8 + \frac{1}{x}$ を計算する。

$x^8 = (x^3)^2 \cdot x^2 = (8)^2 \cdot (-2 - 2\sqrt{3}i) = 64(-2 - 2\sqrt{3}i) = -128 - 128\sqrt{3}i$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{-1 + \sqrt{3}i} = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{(-1 + \sqrt{3}i)(-1 - \sqrt{3}i)} = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{(-1)^2 - (\sqrt{3}i)^2} = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{1 - (-3)} = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{4} = -\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i$

$x^8 + \frac{1}{x} = -128 - 128\sqrt{3}i - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i = -\frac{513}{4} - \frac{513\sqrt{3}}{4}i = -\frac{513}{4}(1 + \sqrt{3}i)$

3. 最終的な答え

$x^3 = 8$

$x^8 + \frac{1}{x} = -\frac{513(1+\sqrt{3}i)}{4}$