円の方程式 $|z - \alpha| = r$ を変形すると、$z\bar{z} - \alpha\bar{z} - \bar{\alpha}z + k = 0$ ($k = |\alpha|^2 - r^2$) と表せる。質問は、$\alpha\bar{\alpha} = |\alpha|^2$ なのに、なぜ $z\bar{z} = |z|^2$ ではないのか、というものです。

1. 問題の内容

円の方程式 $|z - \alpha| = r$ を変形すると、$z\bar{z} - \alpha\bar{z} - \bar{\alpha}z + k = 0$ ($k = |\alpha|^2 - r^2$) と表せる。質問は、$\alpha\bar{\alpha} = |\alpha|^2$ なのに、なぜ $z\bar{z} = |z|^2$ ではないのか、というものです。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ は、一般に $z = x + yi$ (x, y は実数) と表されます。$\bar{z}$ は $z$ の共役複素数であり、$\bar{z} = x - yi$ となります。

したがって、$z\bar{z}$ を計算すると、

$z\bar{z} = (x + yi)(x - yi) = x^2 - (yi)^2 = x^2 - y^2i^2 = x^2 + y^2$

一方、$|z|$ は $z$ の絶対値であり、$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ となります。したがって、$|z|^2 = x^2 + y^2$ となります。

$\alpha$ も複素数ですから、同様に $\alpha\bar{\alpha} = |\alpha|^2$ が成り立ちます。

以上の計算から、$z\bar{z} = x^2 + y^2 = |z|^2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

質問の「なぜ $z\bar{z} = |z|^2$ ではないのか」は誤りで、$z\bar{z} = |z|^2$ は成り立ちます。