問題は2つあります。 (1) $A = 3x + y - 2z$, $B = 2x - 3y - 5z$, $C = -2x - 4y + z$ のとき、$2A - 3(B + A - 2C) + 5B - 8C$ を $x, y, z$ で表す。 (2) $(5x^3 - 6x^2 + 3x - 4)(2x^4 + 3x^3 - x^2 - 7x + 8)$ を展開したときの、$x^5$ の係数を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $A = 3x + y - 2z$, $B = 2x - 3y - 5z$, $C = -2x - 4y + z$ のとき、$2A - 3(B + A - 2C) + 5B - 8C$ を $x, y, z$ で表す。

(2) $(5x^3 - 6x^2 + 3x - 4)(2x^4 + 3x^3 - x^2 - 7x + 8)$ を展開したときの、$x^5$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 式 $2A - 3(B + A - 2C) + 5B - 8C$ を整理します。

$2A - 3(B + A - 2C) + 5B - 8C = 2A - 3B - 3A + 6C + 5B - 8C = -A + 2B - 2C$

$A, B, C$ にそれぞれの式を代入します。

$-A + 2B - 2C = -(3x + y - 2z) + 2(2x - 3y - 5z) - 2(-2x - 4y + z)$

$= -3x - y + 2z + 4x - 6y - 10z + 4x + 8y - 2z$

$= (-3 + 4 + 4)x + (-1 - 6 + 8)y + (2 - 10 - 2)z$

$= 5x + y - 10z$

(2) $(5x^3 - 6x^2 + 3x - 4)(2x^4 + 3x^3 - x^2 - 7x + 8)$ を展開したとき、$x^5$ の項は以下の組み合わせから生成されます。

* $5x^3$ と $-x^2$ をかけたもの: $5x^3 \cdot (-x^2) = -5x^5$

* $-6x^2$ と $3x^3$ をかけたもの: $-6x^2 \cdot 3x^3 = -18x^5$

* $3x$ と $2x^4$ をかけたもの: $3x \cdot 2x^4 = 6x^5$

したがって、$x^5$ の係数は $-5 - 18 + 6 = -17$

3. 最終的な答え

(1) $5x + y - 10z$

(2) $-17$