問題は、与えられた式を展開することです。ここでは、問題番号(3)の $ (x-y)^2 (x+y)^2 (x^2+y^2)^2 $ を展開します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式を展開することです。ここでは、問題番号(3)の $(x-y)^2 (x+y)^2 (x^2+y^2)^2$ を展開します。

2. 解き方の手順

まず、$(x-y)^2$ と $(x+y)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

次に、$(x-y)^2$ と $(x+y)^2$ の積を計算します。

$(x^2 - 2xy + y^2)(x^2 + 2xy + y^2) = ((x^2 + y^2) - 2xy)((x^2 + y^2) + 2xy)$

これは、$(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2 = (x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$

したがって、

$(x-y)^2 (x+y)^2 = (x^2+y^2)^2 - 4x^2y^2$

さらに、$(x^2+y^2)^2$ を展開します。

$(x^2+y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

したがって、

$(x-y)^2 (x+y)^2 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - 4x^2y^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

これは、$(x^2 - y^2)^2$ に等しいことに注意します。

したがって、$(x-y)^2 (x+y)^2 (x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 (x^2+y^2)^2$。ここで、$(x^2-y^2)(x^2+y^2) = x^4 - y^4$ なので、

$(x^2-y^2)^2 (x^2+y^2)^2 = (x^4-y^4)^2$

最後に、$(x^4-y^4)^2$ を展開します。

$(x^4-y^4)^2 = (x^4)^2 - 2(x^4)(y^4) + (y^4)^2 = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

3. 最終的な答え

$x^8 - 2x^4y^4 + y^8$