全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{3, 5\}$、集合 $B = \{2, 5, 8, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $\overline{A}$ (Aの補集合) (2) $\overline{B}$ (Bの補集合) (3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の和集合) (4) $A \cap B$ (AとBの共通部分) また、次の集合の部分集合をすべて答える。 (1) $\{0, 5\}$ (2) $\{a, b\}$ (3) $\{2, 4, 6\}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{3, 5\}$、集合 $B = \{2, 5, 8, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $\overline{A}$ (Aの補集合)

(2) $\overline{B}$ (Bの補集合)

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の和集合)

(4) $A \cap B$ (AとBの共通部分)

また、次の集合の部分集合をすべて答える。

(1) $\{0, 5\}$

(2) $\{a, b\}$

(3) $\{2, 4, 6\}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は、全体集合 $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合である。

(2) $\overline{B}$ は、全体集合 $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合である。

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の要素をすべて含む集合である。

(4) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。

集合 $X$ の部分集合は、$X$ の要素からなる集合である。要素の数が $n$ の集合の部分集合の数は $2^n$ である。

(1) $\{0, 5\}$ の部分集合は、$\{\}, \{0\}, \{5\}, \{0, 5\}$。

(2) $\{a, b\}$ の部分集合は、$\{\}, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}$。

(3) $\{2, 4, 6\}$ の部分集合は、$\{\}, \{2\}, \{4\}, \{6\}, \{2, 4\}, \{2, 6\}, \{4, 6\}, \{2, 4, 6\}$。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 3, 4, 6, 7\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $A \cap B = \{5\}$

(1) $\{0, 5\}$ の部分集合: $\emptyset, \{0\}, \{5\}, \{0, 5\}$

(2) $\{a, b\}$ の部分集合: $\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}$

(3) $\{2, 4, 6\}$ の部分集合: $\emptyset, \{2\}, \{4\}, \{6\}, \{2, 4\}, \{2, 6\}, \{4, 6\}, \{2, 4, 6\}$

ここで、$\emptyset$ は空集合を表す。