全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{1, 6, 8, 9\}$、集合 $B = \{2, 6, 7, 9\}$ が与えられています。 (1) $\overline{A \cup B}$ と $\overline{A} \cap \overline{B}$ をそれぞれ求め、ド・モルガンの法則が成り立つかどうか調べます。 (2) $\overline{A \cap B}$ と $\overline{A} \cup \overline{B}$ をそれぞれ求め、ド・モルガンの法則が成り立つかどうか調べます。 (3) $\overline{A} \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ をそれぞれ求め、ド・モルガンの法則が成り立つかどうか調べます。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{1, 6, 8, 9\}$、集合 $B = \{2, 6, 7, 9\}$ が与えられています。

(1) $\overline{A \cup B}$ と $\overline{A} \cap \overline{B}$ をそれぞれ求め、ド・モルガンの法則が成り立つかどうか調べます。

(2) $\overline{A \cap B}$ と $\overline{A} \cup \overline{B}$ をそれぞれ求め、ド・モルガンの法則が成り立つかどうか調べます。

(3) $\overline{A} \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ をそれぞれ求め、ド・モルガンの法則が成り立つかどうか調べます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$A \cup B$ を求めます。これは、AとBの要素を全て集めた集合です。

$A \cup B = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

次に、$\overline{A \cup B}$ を求めます。これは、$U$ の要素のうち、$A \cup B$ に含まれない要素を集めた集合です。

$\overline{A \cup B} = \{3, 4, 5\}$

次に、$\overline{A}$ を求めます。

$\overline{A} = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

次に、$\overline{B}$ を求めます。

$\overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 8\}$

次に、$\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めます。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{3, 4, 5\}$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ であるため、ド・モルガンの法則が成り立ちます。

(2) まず、$A \cap B$ を求めます。これは、AとB両方に含まれる要素を集めた集合です。

$A \cap B = \{6, 9\}$

次に、$\overline{A \cap B}$ を求めます。これは、$U$ の要素のうち、$A \cap B$ に含まれない要素を集めた集合です。

$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\}$

次に、$\overline{A}$ を求めます。これは(1)で求めました。

$\overline{A} = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

次に、$\overline{B}$ を求めます。これは(1)で求めました。

$\overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 8\}$

次に、$\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めます。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\}$

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ であるため、ド・モルガンの法則が成り立ちます。

(3) まず、$\overline{A}$ を求めます。

$\overline{A} = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

次に、$\overline{A} \cap B$ を求めます。これは、$\overline{A}$と$B$両方に含まれる要素を集めた集合です。

$\overline{A} \cap B = \{2, 7\}$

次に、$\overline{B}$ を求めます。

$\overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 8\}$

次に、$A \cup \overline{B}$ を求めます。これは、$A$と$\overline{B}$の要素を全て集めた集合です。

$A \cup \overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$

$\overline{A} \cap B \neq A \cup \overline{B}$　より、ド・モルガンの法則は成り立ちません。

しかし、$A \cup \overline{B} = \overline{\overline{A} \cap B}$がド・モルガンの法則です。

$\overline{\overline{A} \cap B} = \overline{\{2, 7\}} = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$

よって、ド・モルガンの法則が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A \cup B} = \{3, 4, 5\}$、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{3, 4, 5\}$。ド・モルガンの法則は成り立つ。

(2) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\}$、$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\}$。ド・モルガンの法則は成り立つ。

(3) $\overline{A} \cap B = \{2, 7\}$、$A \cup \overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$。ド・モルガンの法則は成り立つ。