8種類の異なる果物がある。これらの果物を組み合わせて、最大8個の果物が入ったセットを1つ作りたい。セットの中に最低でも1つの果物を入れることとし、同じ種類の果物を2個以上入れないとする。何通りのセットができるか。

1. 問題の内容

8種類の異なる果物がある。これらの果物を組み合わせて、最大8個の果物が入ったセットを1つ作りたい。セットの中に最低でも1つの果物を入れることとし、同じ種類の果物を2個以上入れないとする。何通りのセットができるか。

2. 解き方の手順

この問題は、8種類の果物からいくつかを選んでセットを作る組み合わせの数を求める問題です。ただし、少なくとも1つは果物を選ばなければならず、同じ果物を2つ以上選ぶことはできません。

これは、8種類の果物から1個選ぶ場合、2個選ぶ場合、3個選ぶ場合、...、8個選ぶ場合をすべて足し合わせることで求められます。組み合わせの総数は、二項定理を用いて考えることができます。

8個の果物から $k$ 個を選ぶ組み合わせの数は、$_8C_k$ と表されます。

したがって、求める組み合わせの総数は、

$$_8C_1 + _8C_2 + _8C_3 + _8C_4 + _8C_5 + _8C_6 + _8C_7 + _8C_8$$

二項定理より、

$$(1+x)^8 = _8C_0 + _8C_1x + _8C_2x^2 + _8C_3x^3 + _8C_4x^4 + _8C_5x^5 + _8C_6x^6 + _8C_7x^7 + _8C_8x^8$$

ここで、$x=1$を代入すると、

$$(1+1)^8 = 2^8 = _8C_0 + _8C_1 + _8C_2 + _8C_3 + _8C_4 + _8C_5 + _8C_6 + _8C_7 + _8C_8$$

求める組み合わせの総数は、$_8C_0$ を除くことになるので、

$$_8C_1 + _8C_2 + _8C_3 + _8C_4 + _8C_5 + _8C_6 + _8C_7 + _8C_8 = 2^8 - _8C_0$$

$_8C_0 = 1$ なので、

$$2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$$

3. 最終的な答え

255通り