問題は4つあります。 問題1: KUMAGAYAの8文字を1列に並べるすべての並べ方を求める。 問題2: KUMAGAYAの8文字を1列に並べるとき、子音が隣り合わない並べ方を求める。 問題3: KUMAGAYAの8文字を1列に並べるとき、K, M, Gがこの順に並ぶ並べ方を求める。 問題4: 右の図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、最短経路のうちQを通るものの総数、PまたはQを通るものの総数を求める。

1. 問題の内容

問題は4つあります。

問題1: KUMAGAYAの8文字を1列に並べるすべての並べ方を求める。

問題2: KUMAGAYAの8文字を1列に並べるとき、子音が隣り合わない並べ方を求める。

問題3: KUMAGAYAの8文字を1列に並べるとき、K, M, Gがこの順に並ぶ並べ方を求める。

問題4: 右の図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、最短経路のうちQを通るものの総数、PまたはQを通るものの総数を求める。

2. 解き方の手順

問題1:

KUMAGAYAは8文字であり、Aが3つあります。したがって、すべての並べ方は、

$\frac{8!}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

問題2:

KUMAGAYAの子音はK, M, G, Yであり、母音はU, A, A, Aです。

まず母音U, A, A, Aを並べる方法は$\frac{4!}{3!} = 4$通り。

次に、子音が隣り合わないように、母音の間または端に子音を並べる。

母音の間と端は5箇所あるので、そこに4つの子音を並べる方法は$5P4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$通り。

したがって、子音が隣り合わない並べ方は、$4 \times 120 = 480$通り。

問題3:

KUMAGAYAの8文字を並べるとき、K, M, Gがこの順に並ぶ並べ方を求める。

K, M, Gを同じ文字Xと考えると、XXXUAAAYという7文字の並べ替えとなる。

この並べ方は $\frac{8!}{3!} = 6720$通り。

K, M, Gの並べ方は3! = 6通りだが、この順に並べるので1通りだけを考える。

したがって、$\frac{8!}{3!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{6720}{6} = 1120$通り。

または、8文字からK, M, Gの位置を3つ選び、残りの5文字を並べる方法と考える。

まずK, M, Gの位置の選び方は ${8 \choose 3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

残りの5文字はU, A, A, A, Yであり、その並べ方は$\frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

したがって、求める並べ方は $56 \times 20 = 1120$通り。

問題4:

AからBまでの最短経路は、右に5回、上に4回進む必要がある。

その総数は $\frac{(5+4)!}{5!4!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通り。

AからQまでの最短経路は、右に2回、上に2回進む必要がある。その総数は $\frac{(2+2)!}{2!2!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

QからBまでの最短経路は、右に3回、上に2回進む必要がある。その総数は $\frac{(3+2)!}{3!2!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

したがって、Qを通る最短経路の総数は $6 \times 10 = 60$通り。

AからPまでの最短経路は、右に1回、上に1回進む必要がある。その総数は $\frac{(1+1)!}{1!1!} = \frac{2!}{1!1!} = 2$通り。

PからBまでの最短経路は、右に4回、上に3回進む必要がある。その総数は $\frac{(4+3)!}{4!3!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

したがって、Pを通る最短経路の総数は $2 \times 35 = 70$通り。

PとQの両方を通る最短経路の総数は、AからP、PからQ、QからBを通る経路の数を掛ければよい。

AからPは2通り。PからQは右に1回、上に1回なので2通り。QからBは10通り。

したがって、PとQの両方を通る最短経路の総数は $2 \times 2 \times 10 = 40$通り。

PまたはQを通る経路の総数は、Pを通る経路の総数 + Qを通る経路の総数 - PとQの両方を通る経路の総数。

$70 + 60 - 40 = 90$通り。

3. 最終的な答え

問題1: 6720

問題2: 480

問題3: 1120

問題4: 126, 60, 90