4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a \geq b > c > d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a \geq b > c > d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ は $0$ から $9$ までの異なる整数であり、$a > b > c > d$ を満たす必要があります。

$a, b, c, d$ の値を選ぶことは、 $0$ から $9$ までの10個の整数から4個の異なる整数を選ぶことと同じです。選んだ4つの整数を大きい順に $a, b, c, d$ とすれば良いからです。

したがって、組み合わせの公式を用いると、

${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$ 通りです。

(2) $a \geq b > c > d$ の場合

この場合は、$a, b, c, d$ は $0$ から $9$ までの整数であり、$a \geq b > c > d$ を満たす必要があります。

$a = b$ の場合と $a > b$ の場合に分けて考えます。

$a > b > c > d$ の場合は、(1)で求めたように 210 通りです。

$a = b > c > d$ の場合を考えます。

$a = b$ の値と、$c, d$ の値を選べば良いです。

$a=b, c, d$ は異なる数字である必要があります。

$0$ から $9$ までの10個の数字の中から3つの数字を選び、大きい順に $a=b, c, d$ とすればよいです。

${}_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 通りです。

したがって、条件を満たす $n$ の個数は、$210 + 120 = 330$ 個です。

別の考え方として、$a \geq b > c > d$ を満たすものを直接数え上げることもできます。

$a'=a+1$ とおくと、$a' > b > c > d$ となります。このとき、$a'$ は $1$ 以上 $10$ 以下の整数となります。

したがって、$0, 1, 2, ..., 10$ の11個の整数から、相異なる4つの整数 $a', b, c, d$ を選んで、大きい順に並べれば良いです。

この場合の数は、

${}_{11}C_4 = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 10 \times 3 = 330$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 330個