9で割り切れる整数の集合をA、15で割り切れる整数の集合をBとする。集合Cを $C = \{x+y | x \in A, y \in B\}$ と定義する。このとき、集合Cが3で割り切れる整数全体の集合と一致することを示せ。

1. 問題の内容

9で割り切れる整数の集合をA、15で割り切れる整数の集合をBとする。集合Cを $C = \{x+y | x \in A, y \in B\}$ と定義する。このとき、集合Cが3で割り切れる整数全体の集合と一致することを示せ。

2. 解き方の手順

* **ステップ1: 集合Cの要素が3で割り切れることを示す**

$x \in A$ より、xは9で割り切れるので、ある整数 $k_1$ を用いて $x = 9k_1$ と表せる。

$y \in B$ より、yは15で割り切れるので、ある整数 $k_2$ を用いて $y = 15k_2$ と表せる。

したがって、$x+y = 9k_1 + 15k_2 = 3(3k_1 + 5k_2)$ となる。

$3k_1 + 5k_2$ は整数なので、$x+y$ は3で割り切れる。

よって、$C$ の任意の要素は3で割り切れる。

* **ステップ2: 3で割り切れる任意の整数が集合Cの要素であることを示す**

3で割り切れる任意の整数を $3n$ （nは整数）とする。

$3n$ を、$9k_1+15k_2$ の形で表すことを考える。すなわち、$3n = 9k_1 + 15k_2$ となる整数 $k_1, k_2$ が存在することを示す。

この式を3で割ると、$n = 3k_1 + 5k_2$ となる。

整数 $k_1, k_2$ を適切に選ぶことで、任意の整数 $n$ を $3k_1 + 5k_2$ の形で表せることを示す。

例えば、$n = 3k_1 + 5k_2$ において、$k_1 = 2n$、$k_2 = -n$ とすると、$3k_1 + 5k_2 = 3(2n) + 5(-n) = 6n - 5n = n$ となる。

したがって、$3n = 9(2n) + 15(-n)$ と書ける。

$x=9(2n) \in A$ かつ $y=15(-n) \in B$ なので、$3n = x+y \in C$ である。

よって、3で割り切れる任意の整数は集合Cの要素である。

* **ステップ3: まとめ**

ステップ1とステップ2より、$C$ は3で割り切れる整数全体の集合と一致する。

3. 最終的な答え

集合Cは3で割り切れる整数全体の集合と一致する。