文字列"aaabbcd"の7文字から4文字を取り出すとき、その組み合わせの総数と順列の総数を求める問題です。

1. 問題の内容

文字列"aaabbcd"の7文字から4文字を取り出すとき、その組み合わせの総数と順列の総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 組み合わせの総数を求める。

4文字の選び方について、同じ文字の個数によって場合分けをします。

(i) aを3個含む場合: 残りの1文字はb, c, dのいずれかなので、3通り。

(ii) aを2個含む場合: 残りの2文字はb, c, dから選ぶ。

(ii-1) bを1個含む場合: 残りの1文字はc, dのいずれかなので、2通り。

(ii-2) bを含まない場合: 残りの2文字はc, dなので、1通り。

よって、(ii)は2 + 1 = 3通り。

(iii) aを1個含む場合: 残りの3文字はb, c, dから選ぶ。

(iii-1) bを2個含む場合：残りの1文字はc, dのいずれかなので、2通り。

(iii-2) bを1個含む場合：残りの2文字はc, dから選ぶので、1通り。

(iii-3) bを0個含む場合：残りの3文字はc, dのみでは構成できないので、0通り。

よって、(iii)は2 + 1 = 3通り。

(iv) aを0個含む場合: 残りの4文字はb, c, dのみでは構成できないので、0通り。

(iv-1) bを2個含む場合：残りの2文字はc, dなので、1通り。

(iv-2) bを1個含む場合：残りの3文字はc, dのみでは構成できないので、0通り。

(iv-3) bを0個含む場合：残りの4文字はc, dのみでは構成できないので、0通り。

よって、(iv)は1通り。

したがって、組み合わせの総数は3 + 3 + 2 + 1 + 1 = 10通りです。

(2) 順列の総数を求める。

各組み合わせに対して、並べ方を考えます。

(i) aaab: $\frac{4!}{3!} = 4$

(ii) aaac: $\frac{4!}{3!} = 4$

(iii) aaad: $\frac{4!}{3!} = 4$

(iv) aabb: $\frac{4!}{2!2!} = 6$

(v) aabc: $\frac{4!}{2!} = 12$

(vi) aabd: $\frac{4!}{2!} = 12$

(vii) aacd: $\frac{4!}{2!} = 12$

(viii) abbc: $\frac{4!}{2!} = 12$

(ix) abbd: $\frac{4!}{2!} = 12$

(x) bbcd: $\frac{4!}{2!} = 12$

(xi) abcd: $4! = 24$

したがって、順列の総数は

4 + 4 + 4 + 6 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 96通り

(3) 場合分けが漏れているので再計算します。

組み合わせ:

(i) aを3個含む場合: aaab, aaac, aaad (3通り)

(ii) aを2個含む場合: aabb, aabc, aabd, aacd (4通り)

(iii) aを1個含む場合: abbc, abbd, abcd (3通り)

(iv) aを0個含む場合: bbcd (1通り)

組み合わせの総数は3 + 4 + 3 + 1 = 11通り

順列:

(i) aaab, aaac, aaad: $3 \times \frac{4!}{3!} = 3 \times 4 = 12$

(ii) aabb: $\frac{4!}{2!2!} = 6$

(iii) aabc, aabd, aacd: $3 \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 12 = 36$

(iv) abbc, abbd: $2 \times \frac{4!}{2!} = 2 \times 12 = 24$

(v) abcd: $4! = 24$

(vi) bbcd : $\frac{4!}{2!} = 12$

順列の総数 = 12 + 6 + 36 + 12 + 24 + 12 = 102

3. 最終的な答え

組み合わせの総数：3 + 4 + 3 + 1 = 11通り

順列の総数：12 + 6 + 36 + 24 + 24= 102

組み合わせの総数：11通り

順列の総数：102