袋の中に白玉が7個、黒玉が3個入っている。この袋から同時に5個の玉を取り出すとき、取り出した黒玉の個数を確率変数$X$とする。確率変数$X$の確率分布を求め、確率$P(1 \leq X \leq 2)$を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が7個、黒玉が3個入っている。この袋から同時に5個の玉を取り出すとき、取り出した黒玉の個数を確率変数$X$とする。確率変数$X$の確率分布を求め、確率$P(1 \leq X \leq 2)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、取り出す玉の総数は5個である。黒玉は最大で3個までしかないので、$X$の取りうる値は0, 1, 2, 3である。

袋から5個の玉を取り出す組み合わせの総数は、${}_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6}{5\times 4\times 3\times 2\times 1} = 252$通り。

* $X = 0$のとき（黒玉が0個）：白玉を5個取り出す。

$P(X=0) = \frac{{}_7C_5 \times {}_3C_0}{{}_{10}C_5} = \frac{{}_7C_2}{{}_{10}C_5} = \frac{\frac{7\times 6}{2\times 1}}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$

* $X = 1$のとき（黒玉が1個）：白玉を4個、黒玉を1個取り出す。

$P(X=1) = \frac{{}_7C_4 \times {}_3C_1}{{}_{10}C_5} = \frac{35\times 3}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$

* $X = 2$のとき（黒玉が2個）：白玉を3個、黒玉を2個取り出す。

$P(X=2) = \frac{{}_7C_3 \times {}_3C_2}{{}_{10}C_5} = \frac{35\times 3}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$

* $X = 3$のとき（黒玉が3個）：白玉を2個、黒玉を3個取り出す。

$P(X=3) = \frac{{}_7C_2 \times {}_3C_3}{{}_{10}C_5} = \frac{21\times 1}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$

したがって、確率分布は次のようになる。

| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 計 |

| - | --- | --- | --- | --- | -- |

| P | 1/12| 5/12| 5/12| 1/12| 1 |

$P(1 \leq X \leq 2) = P(X=1) + P(X=2) = \frac{5}{12} + \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

確率分布は上の表の通り。

$P(1 \leq X \leq 2) = \frac{5}{6}$