男子5人と女子3人が並ぶ場合の確率を求める問題です。 (1) 1列に並ぶとき、女子どうしが隣り合わない確率を求めます。 (2) 輪の形に並ぶとき、女子どうしが隣り合わない確率を求めます。

1. 問題の内容

男子5人と女子3人が並ぶ場合の確率を求める問題です。

(1) 1列に並ぶとき、女子どうしが隣り合わない確率を求めます。

(2) 輪の形に並ぶとき、女子どうしが隣り合わない確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 1列に並ぶ場合

まず、男子5人が並ぶ場合の数を考えます。これは $5!$ 通りです。

次に、男子5人の間または端に女子3人を並べることを考えます。男子5人の間と端の合計6箇所から3箇所を選び、そこに女子3人を並べる場合の数は ${}_6 P_3$ 通りです。

したがって、女子どうしが隣り合わない並び方は $5! \times {}_6 P_3$ 通りです。

全体の並び方は $8!$ 通りです。

よって、求める確率は

$$\frac{5! \times {}_6 P_3}{8!} = \frac{5! \times \frac{6!}{(6-3)!}}{8!} = \frac{5! \times \frac{6!}{3!}}{8!} = \frac{5! \times 6 \times 5 \times 4}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 6 = \frac{120 \times 120}{40320} = \frac{14400}{40320} = \frac{5}{14}$$

(2) 輪の形に並ぶ場合

まず、男子5人が輪になって並ぶ場合の数を考えます。これは $(5-1)! = 4!$ 通りです。

次に、男子5人の間に女子3人を並べることを考えます。男子5人の間に3箇所を選び、そこに女子3人を並べる場合の数は ${}_5 P_3$ 通りです。

したがって、女子どうしが隣り合わない並び方は $4! \times {}_5 P_3$ 通りです。

全体の並び方は $(8-1)! = 7!$ 通りです。

ただし、輪になっているので、回転して同じになるものを除く必要があります。

女子が隣り合わない並び方の総数は $4! \times {}_5 P_3 = 4! \times \frac{5!}{(5-3)!} = 24 \times 60 = 1440$ 通り。

全体の並び方は $(8-1)! = 7! = 5040$ 通り。

よって、確率は $\frac{4! \times {}_5 P_3}{7!} = \frac{1440}{5040} = \frac{2}{7}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{14}$

(2) $\frac{2}{7}$