10000本のくじがあり、その中に10000円の当たりが5本、5000円の当たりが25本、1000円の当たりが100本、500円の当たりが2000本ある。残りははずれである。このくじを1本引くときに得る賞金をX円とするとき、Xの確率分布と $P(X \ge 1000)$を求めよ。

1. 問題の内容

10000本のくじがあり、その中に10000円の当たりが5本、5000円の当たりが25本、1000円の当たりが100本、500円の当たりが2000本ある。残りははずれである。このくじを1本引くときに得る賞金をX円とするとき、Xの確率分布と $P(X \ge 1000)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、各賞金の当たる確率を計算する。

* 10000円の当たる確率: $P(X=10000) = \frac{5}{10000} = \frac{1}{2000}$

* 5000円の当たる確率: $P(X=5000) = \frac{25}{10000} = \frac{1}{400}$

* 1000円の当たる確率: $P(X=1000) = \frac{100}{10000} = \frac{1}{100}$

* 500円の当たる確率: $P(X=500) = \frac{2000}{10000} = \frac{1}{5}$

* はずれの確率: $P(X=0) = 1 - \frac{5}{10000} - \frac{25}{10000} - \frac{100}{10000} - \frac{2000}{10000} = 1 - \frac{2130}{10000} = \frac{7870}{10000} = \frac{787}{1000}$

Xの確率分布は以下のようになる。

| X | 10000 | 5000 | 1000 | 500 | 0 |

|------|--------|--------|--------|--------|--------|

| P(X) | 1/2000 | 1/400 | 1/100 | 1/5 | 787/1000|

次に、$P(X \ge 1000)$を計算する。

$P(X \ge 1000) = P(X=10000) + P(X=5000) + P(X=1000)$

$P(X \ge 1000) = \frac{5}{10000} + \frac{25}{10000} + \frac{100}{10000} = \frac{130}{10000} = \frac{13}{1000}$

3. 最終的な答え

Xの確率分布：

| X | 10000 | 5000 | 1000 | 500 | 0 |

|------|--------|--------|--------|--------|--------|

| P(X) | 1/2000 | 1/400 | 1/100 | 1/5 | 787/1000|

$P(X \ge 1000) = \frac{13}{1000}$