(1) $3^{2034}$ を12で割った余りを求めよ。 (2) 3つの数 $n$, $2n+1$, $4n+1$ がすべて素数となるような $n$ を求める。$n$ は素数であるから、$n$ は 2 以上の整数であり、$n$ は自然数 $k$ を用いて、$3k$, $3k+\boxed{3}$, $3k-\boxed{4}$ のいずれかで表せる。空欄を埋めよ。

1. 問題の内容

(1) $3^{2034}$ を12で割った余りを求めよ。

(2) 3つの数 $n$, $2n+1$, $4n+1$ がすべて素数となるような $n$ を求める。$n$ は素数であるから、$n$ は 2 以上の整数であり、$n$ は自然数 $k$ を用いて、$3k$, $3k+\boxed{3}$, $3k-\boxed{4}$ のいずれかで表せる。空欄を埋めよ。

2. 解き方の手順

(1) $3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27 \equiv 3 \pmod{12}$

$3^4 = 81 \equiv 9 \pmod{12}$

したがって、$3^n$ を 12 で割った余りは 3 と 9 を交互にとる。

$3^{2034}$ の指数 2034 は偶数なので、余りは 9 となる。

(2) $n$ が素数であるとき、$n$ は $3k$, $3k+1$, $3k+2$ のいずれかで表せる。

$n$ が $3k$ の形で表されるとき、$n$ が素数であるためには $n=3$ である必要がある。

$n$ が $3k+1$ の形で表されるとき、$n = 3k+1$

$n$ が $3k+2$ の形で表されるとき、$n = 3k+2 = 3k - 1$ と表せる。

問題文には、$3k$, $3k+\boxed{3}$, $3k-\boxed{4}$ とあるので、素数 $n$ は、$3k$, $3k+1$, $3k+2$ のいずれかで表せることを考慮すると、$3k+3$ は、$3(k+1)$ となるので、素数となるのは $k=0$ の時のみ。しかしその場合 $3k+3 = 3$ となり、$n$が3の倍数であることから、$3k$ は $n=3$ のみ。

$n=3$ のとき、$2n+1 = 2(3)+1 = 7$, $4n+1 = 4(3)+1 = 13$。$3, 7, 13$ はすべて素数である。

問題文の$3k+3$ に入るのは $3k+2$ の形にするため、$3k-1$ となる。よって$3k+\boxed{2}$, $3k-\boxed{1}$

$3k+1$を$3k+3$とすると、$2n+1$も素数にならない

もし、$n$が3の倍数なら、$n=3$しかありえない。$n=3$のとき、$2n+1=7$, $4n+1=13$。これらは全て素数である。

$n$が$3k+1$なら、$2n+1=2(3k+1)+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$。このとき、$2n+1$は3の倍数なので素数にならない。

$n$が$3k+2$なら、$4n+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9 = 3(4k+3)$。このとき、$4n+1$は3の倍数なので素数にならない。

よって$3k$, $3k+1$, $3k+2$では表せない。

$n$が$3k$なら$n=3$, $3k+3$というのは、$3(k+1)$なので、素数にはなり得ない。ただし$3k+3=3$のときは、$k=0$となり$n=0$となるので矛盾する。また$3k-4$は、$3k+2$のとき$3k-4 = 3k-4$となり、

$3k+1$のとき$3k+1$となるので、$3k+1 =3k-2+3$

1. 9

2. 2

3. 1

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) 2, 2, 1