(1) $3^{2034}$ を12で割った余りを求める。 (2) $n$, $2n+1$, $4n+1$ がすべて素数となるような $n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $3^{2034}$ を12で割った余りを求める。

(2) $n$, $2n+1$, $4n+1$ がすべて素数となるような $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27 \equiv 3 \pmod{12}$, $3^4 = 81 \equiv 9 \pmod{12}$ となるので、$3^n$ を 12 で割った余りは 3 または 9 となる。

$3^n$ は n が奇数のとき 3, n が偶数のとき 9 となる。

$2034$ は偶数なので、$3^{2034} \equiv 9 \pmod{12}$。

したがって、余りは9。

(2)

nは素数であるから、$n$ は2以上の整数であり、nは自然数kを用いて $3k$, $3k+1$, $3k+2$ のいずれかで表せる。$3k+2$ は $3k-1$ とも表せる。

(i) $n = 3k$ のとき、$n$ が素数になるのは $k=1$ のとき、すなわち $n=3$ のときに限る。

また、このとき $2n+1 = 2(3)+1 = 7$, $4n+1 = 4(3)+1 = 13$ となり、いずれも素数となる。

(ii) $n=3k+1$ のとき、$2n+1 = 2(3k+1)+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$。$k$ は自然数より、$2k+1$ は3以上の整数であるから、$2n+1$ は素数ではない。

(iii) $n=3k+2$ のとき、$4n+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9 = 3(4k+3)$。$k$ は自然数より、$4k+3$ は7以上の整数であるから、$4n+1$ は素数ではない。

したがって、$n=3$ のときのみ、$n$, $2n+1$, $4n+1$ がすべて素数となる。

(1) $3^{2034}$を12で割った余りは 9 である。

(2) $n$ は2以上の整数であり、$n$ は自然数 $k$ を用いて $3k$, $3k+1$, $3k-1$ のいずれかで表せる。

(i) $n=3k$ のとき、$n$ が素数になるのは $k=1$ のとき、すなわち $n=3$ のときに限る。また、このとき $2n+1=7$, $4n+1=13$ となり、いずれも素数となる。

(ii) $n=3k+1$ のとき、$2n+1 = 3(2k+1)$。$k$ は自然数より、$2k+1$ は3以上の整数であるから、$2n+1$ は素数ではない。

(iii) $n=3k-1$ のとき、$4n+1=12k-3=3(4k-1)$。$k$ は自然数より、$4k-1$ は3以上の整数であるから、$4n+1$ は素数ではない。

(i)~(iii) より、$n$, $2n+1$, $4n+1$ がすべて素数となるような $n$ は、 $n=3$ のみである。

よって、解答欄を埋めると以下のようになる。

1: 9

2: 3

3: 1

4: -1

5: 1

6: 3

7: 7

8: 13

9: 13

10: 3

11: 3

12: 3

3. 最終的な答え

1: 9

2: 3

3: 1

4: -1

5: 1

6: 3

7: 7

8: 13

9: 13

10: 3

11: 3

12: 3