次の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 2}{2x + 1}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{3x^2 - 4x + 1}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - x - 1}{x^2 + 1}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 2x + 1}$ (5) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1})$ (6) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2 - 2} - \sqrt{3}x)$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 2}{2x + 1}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{3x^2 - 4x + 1}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - x - 1}{x^2 + 1}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 2x + 1}$

(5) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1})$

(6) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2 - 2} - \sqrt{3}x)$

2. 解き方の手順

(1) 分母と分子を$x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 2}{2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{2 + \frac{1}{x}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{x} \to 0$、$\frac{1}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$

(2) 分母と分子を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{3x^2 - 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{3}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$、$\frac{4}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + 0 + 0}{3 - 0 + 0} = \frac{1}{3}$

(3) 分母と分子を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - x - 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{2 - 0 - 0}{1 + 0} = 2$

(4) 分母と分子を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{3}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$、$\frac{2}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 + 0 + 0} = 0$

(5) 有理化します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1})(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1})}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) - (x - 1)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}}$

$x \to \infty$のとき、$\sqrt{x + 1} \to \infty$、$\sqrt{x - 1} \to \infty$なので、$\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} \to \infty$

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} = 0$

(6) 有理化します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2 - 2} - \sqrt{3}x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{3x^2 - 2} - \sqrt{3}x)(\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{3}x)}{\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{3}x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(3x^2 - 2) - 3x^2}{\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{3}x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{3}x}$

$x \to \infty$のとき、$\sqrt{3x^2 - 2} \to \infty$、$\sqrt{3}x \to \infty$なので、$\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{3}x \to \infty$

$\lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{3}x} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\frac{1}{3}$

(3) $2$

(4) $0$

(5) $0$

(6) $0$