$\triangle OAB$ において、$OA = 2\sqrt{2}$, $OB = \sqrt{3}$, $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2$ とする。辺AB上に$OH \perp AB$となる点Hがあるとき、$\vec{OH}$ を $\vec{OA}$、$\vec{OB}$を用いて表せ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA = 2\sqrt{2}$, $OB = \sqrt{3}$, $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2$ とする。辺AB上に$OH \perp AB$となる点Hがあるとき、$\vec{OH}$ を $\vec{OA}$、$\vec{OB}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OH}$ が辺AB上にあることから、$t$ を実数として、

$$\vec{OH} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$$

と表せる。次に、$OH \perp AB$ より $\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$ である。$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ であるから、

$$\vec{OH} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$$

これを展開すると、

$$((1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$$

$$(1-t)\vec{OA}\cdot\vec{OB} - (1-t)|\vec{OA}|^2 + t|\vec{OB}|^2 - t\vec{OA}\cdot\vec{OB} = 0$$

与えられた値 $OA = 2\sqrt{2}$, $OB = \sqrt{3}$, $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2$ を代入すると、

$|\vec{OA}|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$

$|\vec{OB}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

であるから、

$$(1-t)(2) - (1-t)(8) + t(3) - t(2) = 0$$

$$2 - 2t - 8 + 8t + 3t - 2t = 0$$

$$7t - 6 = 0$$

$$t = \frac{6}{7}$$

したがって、

$$\vec{OH} = (1-\frac{6}{7})\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB} = \frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB}$$

3. 最終的な答え

$$\vec{OH} = \frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB}$$