3点A(1,1), B(3,7), C(5,3)が与えられたとき、 (1) 線分ABの長さを求める。 (2) 直線ABの方程式を求める。 (3) 点Cと直線ABの距離を求める。 (4) △ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

3点A(1,1), B(3,7), C(5,3)が与えられたとき、

(1) 線分ABの長さを求める。

(2) 直線ABの方程式を求める。

(3) 点Cと直線ABの距離を求める。

(4) △ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABの長さ

2点間の距離の公式を用いる。A(1,1), B(3,7)なので、

$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$

よって、1=2, 2=1, 3=0

(2) 直線ABの方程式

傾きmは、$m = \frac{7-1}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$

点A(1,1)を通るので、

$y-1 = 3(x-1)$

$y-1 = 3x-3$

$3x - y - 2 = 0$

よって、4=3, 5=2

(3) 点Cと直線ABの距離

点と直線の距離の公式を用いる。C(5,3), 直線AB: $3x - y - 2 = 0$なので、

$d = \frac{|3(5) - 3 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|15 - 3 - 2|}{\sqrt{9+1}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \frac{10\sqrt{10}}{10} = \sqrt{10}$

よって、6=1, 7=0

(4) △ABCの面積

△ABCの面積は、$S = \frac{1}{2} |(x_A - x_C)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_C - y_A)|$で計算できる。

$S = \frac{1}{2} |(1-5)(7-1) - (1-3)(3-1)| = \frac{1}{2} |(-4)(6) - (-2)(2)| = \frac{1}{2} |-24 + 4| = \frac{1}{2} |-20| = \frac{1}{2} \times 20 = 10$

または、$S = \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{10} \times \sqrt{10} = \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10$

よって、8=1, 9=0

3. 最終的な答え

(1) AB = $2\sqrt{10}$

1 = 2

2 = 1

3 = 0

(2) 3x - y - 2 = 0

4 = 3

5 = 2

(3) d = $\sqrt{10}$

6 = 1

7 = 0

(4) S = 10

8 = 1

9 = 0