円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = 2x + k$ が接するとき、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = 2x + k$ が接するとき、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

円の中心（原点）と直線の距離が円の半径（1）に等しくなる条件を利用する。

まず、直線を一般形 $2x - y + k = 0$ で表す。

点と直線の距離の公式より、原点(0,0)と直線 $2x - y + k = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|2(0) - (0) + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$$

円と直線が接するとき、$d = 1$ であるから、

$$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 1$$

$$|k| = \sqrt{5}$$

$$k = \pm \sqrt{5}$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$