$\sqrt{2}$ が無理数である理由を説明してください。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数である理由を説明してください。

2. 解き方の手順

$\sqrt{2}$ が無理数であることを背理法を用いて証明します。

* **ステップ1:** $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定します。

つまり、互いに素な整数 $m, n$ (ただし、$n \neq 0$)を用いて、

$\sqrt{2} = \frac{m}{n}$

と表せると仮定します。

* **ステップ2:** 式を変形します。

両辺を2乗すると、

$2 = \frac{m^2}{n^2}$

となり、

$2n^2 = m^2$

を得ます。

* **ステップ3:** $m^2$ が偶数であることを示します。

$2n^2 = m^2$ より、$m^2$ は 2 の倍数なので、偶数です。

* **ステップ4:** $m$ が偶数であることを示します。

$m^2$ が偶数ならば、$m$ も偶数です。（$m$ が奇数ならば、$m^2$ も奇数となるからです。）

したがって、$m = 2k$ ($k$ は整数) と表せます。

* **ステップ5:** $n$ が偶数であることを示します。

$m = 2k$ を $2n^2 = m^2$ に代入すると、

$2n^2 = (2k)^2$

$2n^2 = 4k^2$

$n^2 = 2k^2$

となります。よって、$n^2$ は 2 の倍数なので偶数であり、$n$ も偶数です。

* **ステップ6:** 矛盾を導きます。

$m$ と $n$ がともに偶数であることは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

* **ステップ7:** 結論

したがって、$\sqrt{2}$ が有理数であるという仮定が誤りであり、$\sqrt{2}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、$\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ (m, n は互いに素な整数) と表せる。このとき、$2n^2 = m^2$ となり、$m^2$は偶数である。したがって、$m$ も偶数であるから、$m=2k$ (k は整数) と表せる。これを代入して整理すると、$n^2 = 2k^2$ となり、$n^2$ は偶数である。したがって、$n$ も偶数である。$m$ と $n$ がともに偶数であることは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。よって、$\sqrt{2}$ は無理数である。