(1) 数列 $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+2)}$ の和を求める。 (2) 数列 $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ の和を求める。

1. 問題の内容

(1) 数列 $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+2)}$ の和を求める。

(2) 数列 $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ の和を求める。

2. 解き方の手順

(1)

部分分数分解を利用する。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$ とおく。

$1 = A(n+2) + Bn$

$1 = (A+B)n + 2A$

よって、$A+B = 0$ かつ $2A=1$

$A = \frac{1}{2}$ , $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

$S_n = \frac{1}{2} [ (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}) ]$

$S_n = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)})$

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)})$

$S_n = \frac{3n^2+9n+6 - 4n - 6}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

(2)

分母の有理化を行う。

$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{k+1 - k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

$S_n = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

$S_n = \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

(2) $\sqrt{n+1} - 1$