次の3つの等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める。 (1) $(x-1)(bx^2+x+c) = x^3+ax-2$ (2) $a(x+1)(x+2)+bx(x+1)+cx(x+2)=x+6$ (3) $a(x-1)^2+b(x-1)+c=x^2$

1. 問題の内容

次の3つの等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める。

(1) $(x-1)(bx^2+x+c) = x^3+ax-2$

(2) $a(x+1)(x+2)+bx(x+1)+cx(x+2)=x+6$

(3) $a(x-1)^2+b(x-1)+c=x^2$

2. 解き方の手順

(1)

左辺を展開する。

$(x-1)(bx^2+x+c) = bx^3 + x^2 + cx - bx^2 - x - c = bx^3 + (1-b)x^2 + (c-1)x - c$

これが $x^3+ax-2$ と恒等的に等しいので、各次数の係数を比較する。

$x^3$ の係数: $b = 1$

$x^2$ の係数: $1-b = 0$

$x$ の係数: $c-1 = a$

定数項: $-c = -2$

よって、$b=1$, $c=2$, $a=c-1=2-1=1$

(2)

左辺を展開する。

$a(x+1)(x+2)+bx(x+1)+cx(x+2) = a(x^2+3x+2)+b(x^2+x)+c(x^2+2x) = ax^2+3ax+2a+bx^2+bx+cx^2+2cx = (a+b+c)x^2+(3a+b+2c)x+2a$

これが $x+6$ と恒等的に等しいので、各次数の係数を比較する。

$x^2$ の係数: $a+b+c = 0$

$x$ の係数: $3a+b+2c = 1$

定数項: $2a = 6$

よって、$a=3$。

$3+b+c = 0$ より $b+c = -3$

$3(3)+b+2c=1$ より $9+b+2c=1$, よって $b+2c = -8$

$b+2c - (b+c) = -8 - (-3)$, よって $c = -5$

$b-5 = -3$ より $b = 2$

したがって、$a=3$, $b=2$, $c=-5$

(3)

左辺を展開する。

$a(x-1)^2+b(x-1)+c = a(x^2-2x+1)+b(x-1)+c = ax^2-2ax+a+bx-b+c = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

これが $x^2$ と恒等的に等しいので、各次数の係数を比較する。

$x^2$ の係数: $a = 1$

$x$ の係数: $-2a+b = 0$

定数項: $a-b+c = 0$

よって、$a=1$, $-2(1)+b=0$ より $b=2$, $1-2+c=0$ より $c=1$

したがって、$a=1$, $b=2$, $c=1$

3. 最終的な答え

(1) $a=1$, $b=1$, $c=2$

(2) $a=3$, $b=2$, $c=-5$

(3) $a=1$, $b=2$, $c=1$