(1) 不等式 $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ の表す領域の面積を求めよ。 (2) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\ y - x \le 6 \end{cases}$ の表す領域の面積を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ の表す領域の面積を求めよ。

(2) 連立不等式

$\begin{cases}

x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\

y - x \le 6

\end{cases}$

の表す領域の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ を考える。

この不等式は$x$と$y$について対称なので、第一象限 ($x \ge 0, y \ge 0$) の領域を考え、それを4倍すればよい。

第一象限では $|x| = x, |y| = y$ なので、$x^2 + y^2 \le x + y$ となる。

これを変形すると、

$x^2 - x + y^2 - y \le 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

これは中心 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円の内部である。

$x \ge 0, y \ge 0$ の範囲でこの円の内部の面積を考えると、円の4分の1の面積になる。

したがって、$\frac{1}{4} \pi (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{\pi}{8}$

全体の面積はこれを4倍して $4 \times \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$

(2)

$\begin{cases}

x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\

y - x \le 6

\end{cases}$

を考える。

まず、$y - x \le 6$ より $y \le x + 6$。

次に、$x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0$ を考える。

$x \ge 0$ のとき、$x^2 + y^2 - 6x - 6y \le 0$

$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$

$x \le 0$ のとき、$x^2 + y^2 + 6x - 6y \le 0$

$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$

これは中心 $(3, 3)$ または $(-3, 3)$、半径 $3\sqrt{2}$ の円の内部である。

$y \le x + 6$ と合わせると、求める領域は2つの円弧と直線で囲まれた領域となる。

2つの円の中心を結ぶ線分の中点は $(0, 3)$。この線分は$y$軸に平行。

円の交点は $y = x + 6$ と $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 18$ または $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 18$ の交点。

$(x - 3)^2 + (x + 3)^2 = 18$ を解くと $2x^2 + 18 = 18$ より $x = 0$, $y = 6$。

$(x + 3)^2 + (x + 3)^2 = 18$ を解くと $x = 0$, $y = 6$。

2つの円弧は $x = 0$ で交わっている。

求める面積は、2つの半円と、2つの円の中心を結ぶ線分と直線 $y = x + 6$ で囲まれた部分の面積となる。

2つの半円の面積は $\pi (3\sqrt{2})^2 = 18\pi$。

直線 $y = x + 6$ と 2つの円の中心を結ぶ線分は $y$軸に平行であるから、

求める面積は $\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$

したがって、求める面積は $18\pi + 18$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2}$

(2) $18\pi + 18$