四角形ABCDが平行四辺形であることと、ベクトル $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つことが同値であることを示す。

1. 問題の内容

四角形ABCDが平行四辺形であることと、ベクトル $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つことが同値であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 四角形ABCDが平行四辺形であると仮定する。

このとき、$\vec{BC} = \vec{AD}$ が成り立つ。また、$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ および $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$ と表せる。したがって、

$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{AD} = 2\vec{AD}$

よって、$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つ。

(2) $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つと仮定する。

$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ より、

$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{BA} + \vec{AD} = 2\vec{AD}$

$\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AB} + \vec{AD} = 2\vec{AD}$

$\vec{BC} + \vec{AD} = 2\vec{AD}$

$\vec{BC} = \vec{AD}$

したがって、四角形ABCDにおいて、$\vec{BC} = \vec{AD}$ が成り立つので、四角形ABCDは平行四辺形である。

上記(1)(2)より、四角形ABCDが平行四辺形であることと $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つことが同値であることが示された。

3. 最終的な答え

四角形ABCDが平行四辺形であることと、$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{AD}$ が成り立つことは同値である。