問題は以下の通りです。 (1) 中心 $A(8, 5, 2)$ 、半径 $2\sqrt{15}$ の球面 $S$ がある。$xy$ 平面と $S$ の交わりである円 $C$ の中心の座標と半径を求めよ。 (2) 2点 $P(1, 2, 1)$ , $Q(3, 1, 4)$ を通る直線を $l$ とする。$S$ が $l$ から切り取る線分の長さを求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 中心 $A(8, 5, 2)$ 、半径 $2\sqrt{15}$ の球面 $S$ がある。$xy$ 平面と $S$ の交わりである円 $C$ の中心の座標と半径を求めよ。

(2) 2点 $P(1, 2, 1)$ , $Q(3, 1, 4)$ を通る直線を $l$ とする。$S$ が $l$ から切り取る線分の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $xy$ 平面の方程式は $z = 0$ である。球面 $S$ の方程式は、

$(x - 8)^2 + (y - 5)^2 + (z - 2)^2 = (2\sqrt{15})^2 = 60$

である。$xy$ 平面との交わりは $z = 0$ を代入して

$(x - 8)^2 + (y - 5)^2 + (0 - 2)^2 = 60$

$(x - 8)^2 + (y - 5)^2 = 60 - 4 = 56$

これは中心 $(8, 5)$ 、半径 $\sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ の円である。したがって、円 $C$ の中心は $(8, 5, 0)$ 、半径は $2\sqrt{14}$ である。

(2) 直線 $l$ の方向ベクトルは $\vec{PQ} = (3 - 1, 1 - 2, 4 - 1) = (2, -1, 3)$ である。したがって、直線 $l$ の方程式は、

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = t$

と表せる。これから、

$x = 2t + 1$

$y = -t + 2$

$z = 3t + 1$

である。直線 $l$ と球面 $S$ の交点は、これらの値を球面 $S$ の方程式に代入することで得られる。

$(2t + 1 - 8)^2 + (-t + 2 - 5)^2 + (3t + 1 - 2)^2 = 60$

$(2t - 7)^2 + (-t - 3)^2 + (3t - 1)^2 = 60$

$4t^2 - 28t + 49 + t^2 + 6t + 9 + 9t^2 - 6t + 1 = 60$

$14t^2 - 28t + 59 = 60$

$14t^2 - 28t - 1 = 0$

この二次方程式の解を $t_1, t_2$ とすると、解の公式より

$t = \frac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4(14)(-1)}}{2(14)} = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 56}}{28} = \frac{28 \pm \sqrt{840}}{28} = \frac{28 \pm 2\sqrt{210}}{28} = 1 \pm \frac{\sqrt{210}}{14}$

$t_1 = 1 + \frac{\sqrt{210}}{14}$

$t_2 = 1 - \frac{\sqrt{210}}{14}$

対応する直線上の点はそれぞれ

$P_1(2t_1 + 1, -t_1 + 2, 3t_1 + 1)$

$P_2(2t_2 + 1, -t_2 + 2, 3t_2 + 1)$

線分の長さは $|P_1P_2|$ である。

線分の長さ $= \sqrt{(2t_1 + 1 - (2t_2 + 1))^2 + (-t_1 + 2 - (-t_2 + 2))^2 + (3t_1 + 1 - (3t_2 + 1))^2}$

$= \sqrt{(2(t_1 - t_2))^2 + (-(t_1 - t_2))^2 + (3(t_1 - t_2))^2}$

$= \sqrt{4(t_1 - t_2)^2 + (t_1 - t_2)^2 + 9(t_1 - t_2)^2} = \sqrt{14(t_1 - t_2)^2} = \sqrt{14} |t_1 - t_2|$

$|t_1 - t_2| = |(1 + \frac{\sqrt{210}}{14}) - (1 - \frac{\sqrt{210}}{14})| = |\frac{2\sqrt{210}}{14}| = \frac{\sqrt{210}}{7}$

線分の長さ $= \sqrt{14} \cdot \frac{\sqrt{210}}{7} = \frac{\sqrt{14 \cdot 210}}{7} = \frac{\sqrt{2940}}{7} = \frac{\sqrt{4 \cdot 735}}{7} = \frac{2\sqrt{735}}{7} = \frac{2\sqrt{49 \cdot 15}}{7} = \frac{2 \cdot 7 \sqrt{15}}{7} = 2\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) 円Cの中心の座標は $(8, 5, 0)$ 、半径は $2\sqrt{14}$

(2) 線分の長さは $2\sqrt{15}$