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定積分 $\int_{1}^{3} x(x+2) dx$ を計算します。

解析学定積分積分多項式
2025/3/24

1. 問題の内容

定積分 ∫13x(x+2)dx\int_{1}^{3} x(x+2) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。
x(x+2)=x2+2xx(x+2) = x^2 + 2x
次に、不定積分を計算します。
∫(x2+2x)dx=∫x2dx+∫2xdx=13x3+x2+C\int (x^2 + 2x) dx = \int x^2 dx + \int 2x dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C
次に、定積分を計算します。
∫13(x2+2x)dx=[13x3+x2]13\int_{1}^{3} (x^2 + 2x) dx = [\frac{1}{3}x^3 + x^2]_{1}^{3}
=(13(3)3+(3)2)−(13(1)3+(1)2)= (\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2) - (\frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2)
=(13(27)+9)−(13+1)= (\frac{1}{3}(27) + 9) - (\frac{1}{3} + 1)
=(9+9)−(13+33)= (9 + 9) - (\frac{1}{3} + \frac{3}{3})
=18−43= 18 - \frac{4}{3}
=543−43=503= \frac{54}{3} - \frac{4}{3} = \frac{50}{3}

3. 最終的な答え

503\frac{50}{3}

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