$m$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12 = 0$ …① について考える。 (1) 方程式①が異なる2つの正の解をもつとき，$m$ の値の範囲を求める。 (2) 方程式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつもつとき，$m$ の値の範囲を求める。 (3) 方程式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつもつとき、$m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$m$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12 = 0$ …① について考える。

(1) 方程式①が異なる2つの正の解をもつとき，$m$ の値の範囲を求める。

(2) 方程式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつもつとき，$m$ の値の範囲を求める。

(3) 方程式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつもつとき、$m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

方程式 $f(x) = x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12 = 0$ とおく。

(1)

方程式①が異なる2つの正の解をもつための条件は、

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $> 0$

(iii) $f(0) > 0$

である。

(i) $D/4 = (m+2)^2 - (2m+12) = m^2 + 4m + 4 - 2m - 12 = m^2 + 2m - 8 > 0$

$(m+4)(m-2) > 0$ より、 $m < -4$ または $m > 2$ …(1)

(ii) 軸は $x = -(m+2)$ なので、 $-(m+2) > 0$ より、 $m < -2$ …(2)

(iii) $f(0) = 2m+12 > 0$ より、$m > -6$ …(3)

(1), (2), (3) より、$-6 < m < -4$ または $2 < m < -2$。

したがって、$2 < m < -2$ は存在しないので、$-6 < m < -4$。

(2)

方程式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつもつための条件は、$f(2) < 0$ である。

$f(2) = 2^2 + 2(m+2)2 + 2m + 12 = 4 + 4m + 8 + 2m + 12 = 6m + 24 < 0$

$6m < -24$ より、$m < -4$

(3)

方程式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつもつための条件は、

$f(1) > 0$, $f(2) < 0$, $f(3) > 0$ である。

$f(1) = 1 + 2(m+2) + 2m+12 = 1 + 2m + 4 + 2m + 12 = 4m + 17 > 0$

$4m > -17$ より、$m > -17/4 = -4.25$ …(4)

$f(2) = 6m + 24 < 0$ より、$m < -4$ …(5)

$f(3) = 9 + 6(m+2) + 2m + 12 = 9 + 6m + 12 + 2m + 12 = 8m + 33 > 0$

$8m > -33$ より、$m > -33/8 = -4.125$ …(6)

(4), (5), (6) より、$-33/8 < m < -4$

3. 最終的な答え

(1) $-6 < m < -4$

(2) $m < -4$

(3) $-33/8 < m < -4$