全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$、集合 $B = \{2, 4, 6, 8\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap B$ (3) $A \cup B$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cup B$ (6) $\overline{A \cap B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$、集合 $B = \{2, 4, 6, 8\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cap B$

(3) $A \cup B$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A} \cup B$

(6) $\overline{A \cap B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$: $A$ の補集合。全体集合 $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合。

$\overline{A} = U - A = \{6, 7, 8, 9\}$

(2) $A \cap B$: $A$ と $B$ の共通部分。$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合。

$A \cap B = \{2, 4\}$

(3) $A \cup B$: $A$ と $B$ の和集合。$A$ または $B$ に含まれる要素の集合。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$

(4) $\overline{A \cup B}$: $A \cup B$ の補集合。全体集合 $U$ の要素のうち、$A \cup B$ に含まれない要素の集合。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{7, 9\}$

(5) $\overline{A} \cup B$: $\overline{A}$ と $B$ の和集合。$\overline{A}$ または $B$ に含まれる要素の集合。

$\overline{A} = \{6, 7, 8, 9\}$

$\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(6) $\overline{A \cap B}$: $A \cap B$ の補集合。全体集合 $U$ の要素のうち、$A \cap B$ に含まれない要素の集合。

$A \cap B = \{2, 4\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{6, 7, 8, 9\}$

(2) $A \cap B = \{2, 4\}$

(3) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{7, 9\}$

(5) $\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(6) $\overline{A \cap B} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$