1から100までの自然数で100と互いに素であるものの個数を求め、さらに、それらの数の2乗の和を求める問題です。

1. 問題の内容

1から100までの自然数で100と互いに素であるものの個数を求め、さらに、それらの数の2乗の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、100と互いに素な数を求めます。

$100 = 2^2 \times 5^2$ なので、100と互いに素な数は、2の倍数でも5の倍数でもない数です。

1から100までの整数の中で、2の倍数は $100/2 = 50$ 個、5の倍数は $100/5 = 20$ 個あります。

2の倍数かつ5の倍数、つまり10の倍数は $100/10 = 10$ 個あります。

したがって、2の倍数または5の倍数は $50 + 20 - 10 = 60$ 個です。

1から100までの整数は100個なので、100と互いに素な数は $100 - 60 = 40$ 個となります。

100と互いに素な数は、10k+1, 10k+3, 10k+7, 10k+9 の形をしています（kは整数）。

1から100までの範囲なので、$k$は0から9までの整数をとります。

次に、これらの数の2乗の和を求めます。

$\sum_{k=0}^{9} ((10k+1)^2 + (10k+3)^2 + (10k+7)^2 + (10k+9)^2)$

$=\sum_{k=0}^{9} (100k^2+20k+1 + 100k^2+60k+9 + 100k^2+140k+49 + 100k^2+180k+81)$

$=\sum_{k=0}^{9} (400k^2+400k+140)$

$=400 \sum_{k=0}^{9} k^2 + 400 \sum_{k=0}^{9} k + \sum_{k=0}^{9} 140$

$=400 \times \frac{9(9+1)(2\cdot9+1)}{6} + 400 \times \frac{9(9+1)}{2} + 140 \times 10$

$=400 \times \frac{9 \times 10 \times 19}{6} + 400 \times \frac{9 \times 10}{2} + 1400$

$=400 \times \frac{1710}{6} + 400 \times 45 + 1400$

$=400 \times 285 + 18000 + 1400$

$=114000 + 18000 + 1400$

$=133400$

3. 最終的な答え

100と互いに素であるものの個数は40個であり、それらの2乗の和は133400です。