全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、$n(U) = 60, n(A) = 32, n(B) = 25, n(A \cap B) = 17$ であるとき、次の集合の要素の個数を求めよ。 (1) $n(\overline{A \cap B})$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ (4) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、$n(U) = 60, n(A) = 32, n(B) = 25, n(A \cap B) = 17$ であるとき、次の集合の要素の個数を求めよ。

(1) $n(\overline{A \cap B})$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

(4) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A \cap B})$ は、$U$ の要素の個数から $A \cap B$ の要素の個数を引いたものに等しい。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$

$n(\overline{A \cap B}) = 60 - 17 = 43$

(2) $n(A \cup B)$ は、$n(A)$ と $n(B)$ を足し、$n(A \cap B)$ を引いたものに等しい。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 32 + 25 - 17 = 40$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ は、ド・モルガンの法則より、$n(\overline{A \cup B})$ に等しい。

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$

さらに、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ である。

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(U) - n(A \cup B) = 60 - 40 = 20$

(4) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$ は、ド・モルガンの法則より、$n(\overline{A \cap B})$ に等しい。

$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = n(\overline{A \cap B})$

(1)より、$n(\overline{A \cap B}) = 43$

したがって、$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = 43$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A \cap B}) = 43$

(2) $n(A \cup B) = 40$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 20$

(4) $n(\overline{A} \cup \overline{B}) = 43$