問題は、図に示された円に関する幾何学的な問題で、指定された条件から角 $\theta$ の値を求めるものです。3つの小問があります。

1. 問題の内容

問題は、図に示された円に関する幾何学的な問題で、指定された条件から角 $\theta$ の値を求めるものです。3つの小問があります。

2. 解き方の手順

(1)

* 円周角の定理より、弧ABに対する中心角は、円周角の2倍です。したがって、$\angle AOB = 2 \times \angle ACB = 2 \theta$です。

* 四角形AOBCにおいて、$\angle OBC$ と $\angle OAC$ は接線に対する半径なので、どちらも90度です。

* 四角形の内角の和は360度なので、$\angle AOB + \angle OBC + \angle ACB + \angle OAC = 360^\circ$です。

* これらの情報を組み合わせて $\theta$ を求めます。

(2)

* 四角形ABCDは内接四角形なので、対角の和は180度です。$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$であり、$\angle ABC = 40^\circ + 90^\circ = 130^\circ$です。

*したがって、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$です。

*$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 50^\circ$であり、$\angle ADB = \angle BDC$であることから、$\angle BDC = 25^\circ$です。

* 円周角の定理より、$\angle DBC = \angle BDC = 25^\circ$となり、$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 40^\circ + 90^\circ = 130^\circ$です。$\angle ABD = 40^\circ$なので、$\angle DBC = 130^\circ - 40^\circ = 90^\circ$です。

*$\angle DBC = 25^\circ$となり、弧DCに対する円周角は$\theta$であるので、$\theta = 25^\circ$です。

(3)

* 円外の一点から円に引いた2本の接線の長さは等しいので、PA = PBです。したがって、三角形PABは二等辺三角形です。

* $\angle APB = 54^\circ$なので、$\angle PAB = \angle PBA = (180^\circ - 54^\circ)/2 = 63^\circ$です。

* 接線と弦のなす角の定理より、$\angle PBA = \angle BCA$です。したがって、$\theta = \angle BCA = 63^\circ$です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 65^\circ$

(2) $\theta = 25^\circ$

(3) $\theta = 63^\circ$