放物線 $y = x^2 - 3x$ と直線 $y = -2x + 2$ によって囲まれる部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x$ と直線 $y = -2x + 2$ によって囲まれる部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点を求めます。

$x^2 - 3x = -2x + 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

したがって、交点のx座標は $x = 2, -1$ です。

次に、定積分を使って面積を計算します。

面積 $S$ は次の式で求められます。

$S = \int_{-1}^{2} ((-2x + 2) - (x^2 - 3x)) dx$

$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

$S = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x]_{-1}^{2}$

$S = (-\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2)) - (-\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 + 2(-1))$

$S = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2)$

$S = (-\frac{8}{3} + 6) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2)$

$S = \frac{10}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6})$

$S = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})$

$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$

$S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6}$

$S = \frac{27}{6}$

$S = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

9/2