与えられた3次式 $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理を用いて、与式が $(x - a)$ を因数に持つような $a$ を探す。

$a$ は定数項6の約数の候補から探すのが一般的である。

候補としては、$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ などがある。

(2) $x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$

よって、$x + 1$ は与式の因数である。

(3) 組み立て除法または筆算で、$x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ を $x + 1$ で割る。

組み立て除法を用いると、以下のようになる。

\begin{array}{c|cccc}

-1 & 1 & 6 & 11 & 6 \\

\hline

& & -1 & -5 & -6 \\

\hline

& 1 & 5 & 6 & 0 \\

\end{array}

この結果から、$x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x^2 + 5x + 6)$ となる。

(4) 2次式 $x^2 + 5x + 6$ を因数分解する。

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

(5) 以上の結果をまとめると、

$x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)$

3. 最終的な答え

$(x + 1)(x + 2)(x + 3)$