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以下の行列の逆行列を求める問題です。 (1) 0 (零行列) (2) E (単位行列) (3) 正則な行列 A, B に対して、AB (4) 正則な行列 A, B に対して、A + B (5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ (6) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ (7) $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ (8) 2025 （スカラー） (9) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ (10) $\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$ (11) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ (12) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

代数学行列逆行列行列式回転行列
2025/5/21

1. 問題の内容

以下の行列の逆行列を求める問題です。
(1) 0 (零行列)
(2) E (単位行列)
(3) 正則な行列 A, B に対して、AB
(4) 正則な行列 A, B に対して、A + B
(5) (12)\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}
(6) (1201−13)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}
(7) (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}
(8) 2025 （スカラー）
(9) (3415)\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}
(10) (4−6−69)\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}
(11) (2−13−3412−13)\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}
(12) (2−13−341−122)\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

(1) 0 (零行列)
零行列は逆行列を持ちません。なぜなら、任意の行列 A に対して、0A = A0 = 0 となり、単位行列 I になることはないからです。
(2) E (単位行列)
単位行列 E の逆行列は E 自身です。なぜなら、EE = E = I だからです。
(3) 正則な行列 A, B に対して、AB
A と B が正則なので、それぞれの逆行列 A−1A^{-1} と B−1B^{-1} が存在します。
積 AB の逆行列は (AB)−1=B−1A−1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} です。
なぜなら、(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=AA−1=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I
であり、同様に (B−1A−1)(AB)=I(B^{-1}A^{-1})(AB) = I となるからです。
(4) 正則な行列 A, B に対して、A + B
A + B の逆行列は一般的には求められません。
A と B が正則であっても、A + B が正則であるとは限りません。また、A + B が正則だったとしても、A−1A^{-1} と B−1B^{-1} を用いて簡単に表すことはできません。
与えられた条件だけでは何もわかりません。
(5) (12)\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}
この行列は 1x2 の行列であり、正方行列ではないため、逆行列を持ちません。
(6) (1201−13)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}
この行列は 2x3 の行列であり、正方行列ではないため、逆行列を持ちません。
(7) (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}
この行列を回転行列と呼びます。
逆行列は (cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} です。
確認：(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)=(cos⁡2θ+sin⁡2θcos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θsin⁡θcos⁡θ−cos⁡θsin⁡θsin⁡2θ+cos⁡2θ)=(1001)\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta - \cos \theta \sin \theta & \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
(8) 2025 （スカラー）
スカラー 2025 を 1x1 の行列とみなすと、逆数は 12025\frac{1}{2025} です。
(9) (3415)\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}
行列 A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} の逆行列は A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} です。
この行列の行列式は (3)(5) - (4)(1) = 15 - 4 = 11 です。
よって、逆行列は 111(5−4−13)=(5/11−4/11−1/113/11)\frac{1}{11}\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix} です。
(10) (4−6−69)\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}
この行列の行列式は (4)(9) - (-6)(-6) = 36 - 36 = 0 です。
行列式が 0 なので、逆行列を持ちません。
(11) (2−13−3412−13)\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}
この行列の1行目と3行目が同じなので、行列式は0です。したがって、逆行列を持ちません。
(12) (2−13−341−122)\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}
行列式を計算します：
2(4⋅2−1⋅2)−(−1)(−3⋅2−1⋅(−1))+3(−3⋅2−4⋅(−1))=2(8−2)+1(−6+1)+3(−6+4)=2(6)+1(−5)+3(−2)=12−5−6=12(4 \cdot 2 - 1 \cdot 2) - (-1)(-3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) + 3(-3 \cdot 2 - 4 \cdot (-1)) \\ = 2(8 - 2) + 1(-6 + 1) + 3(-6 + 4) \\ = 2(6) + 1(-5) + 3(-2) \\ = 12 - 5 - 6 = 1
余因子行列を計算します：
C11=4⋅2−1⋅2=6C_{11} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 6
C12=−(−3⋅2−1⋅(−1))=5C_{12} = -(-3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = 5
C13=−3⋅2−4⋅(−1)=−2C_{13} = -3 \cdot 2 - 4 \cdot (-1) = -2
C21=−(−1⋅2−3⋅2)=8C_{21} = -( -1 \cdot 2 - 3 \cdot 2) = 8
C22=2⋅2−3⋅(−1)=7C_{22} = 2 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) = 7
C23=−(2⋅2−(−1)⋅(−1))=−3C_{23} = -(2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) = -3
C31=−1⋅1−3⋅4=−13C_{31} = -1 \cdot 1 - 3 \cdot 4 = -13
C32=−(2⋅1−3⋅(−3))=−11C_{32} = -(2 \cdot 1 - 3 \cdot (-3)) = -11
C33=2⋅4−(−1)⋅(−3)=5C_{33} = 2 \cdot 4 - (-1) \cdot (-3) = 5
余因子行列は (65−287−3−13−115)\begin{pmatrix} 6 & 5 & -2 \\ 8 & 7 & -3 \\ -13 & -11 & 5 \end{pmatrix}
転置余因子行列(随伴行列)は (68−1357−11−2−35)\begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}
逆行列は 11(68−1357−11−2−35)=(68−1357−11−2−35)\frac{1}{1}\begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(1) 逆行列は存在しない
(2) E
(3) B−1A−1B^{-1}A^{-1}
(4) 与えられた条件だけでは何もわからない
(5) 逆行列は存在しない
(6) 逆行列は存在しない
(7) (cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}
(8) 12025\frac{1}{2025}
(9) (5/11−4/11−1/113/11)\begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}
(10) 逆行列は存在しない
(11) 逆行列は存在しない
(12) (68−1357−11−2−35)\begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}

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