不等式 $|x-2| < 2x - 1$ を解きます。絶対値を含む不等式です。

1. 問題の内容

不等式 $|x-2| < 2x - 1$ を解きます。絶対値を含む不等式です。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x - 2 \geq 0$、すなわち $x \geq 2$ のとき、絶対値はそのまま外れます。

したがって、$x - 2 < 2x - 1$ となります。

これを解くと、$x > -1$ です。

$x \geq 2$ と $x > -1$ の共通範囲は、$x \geq 2$ です。

(ii) $x - 2 < 0$、すなわち $x < 2$ のとき、絶対値は符号を変えて外れます。

したがって、$-(x - 2) < 2x - 1$ となります。

これを解くと、$-x + 2 < 2x - 1$ より、$3x > 3$ となり、$x > 1$ です。

$x < 2$ と $x > 1$ の共通範囲は、$1 < x < 2$ です。

(i) と (ii) の結果を合わせると、$x \geq 2$ または $1 < x < 2$ となります。

これは、$x > 1$ と同じです。

また、不等式の右辺が $2x-1$ であるため、$2x-1 > 0$ である必要があります。

これは、$x > \frac{1}{2}$ を意味します。

よって、$x > 1$ と $x > \frac{1}{2}$ の共通範囲を考えると、$x > 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x > 1$