与えられた式 $(a+b)^2 (a^2 - ab + b^2)^2$ を展開し、簡単にすること。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)^2 (a^2 - ab + b^2)^2$ を展開し、簡単にすること。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^2$ を展開します。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

次に、$a^2 - ab + b^2$ の二乗を展開します。

$(a^2 - ab + b^2)^2 = (a^2 - ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$

$= a^4 - a^3b + a^2b^2 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^2b^2 - ab^3 + b^4$

$= a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4$

したがって、与えられた式は、

$(a+b)^2 (a^2 - ab + b^2)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4)$

これを展開します。

$a^2(a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4) + 2ab(a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4) + b^2(a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4)$

$= a^6 - 2a^5b + 3a^4b^2 - 2a^3b^3 + a^2b^4 + 2a^5b - 4a^4b^2 + 6a^3b^3 - 4a^2b^4 + 2ab^5 + a^4b^2 - 2a^3b^3 + 3a^2b^4 - 2ab^5 + b^6$

$= a^6 + (-2+2)a^5b + (3-4+1)a^4b^2 + (-2+6-2)a^3b^3 + (1-4+3)a^2b^4 + (2-2)ab^5 + b^6$

$= a^6 + 0a^5b + 0a^4b^2 + 2a^3b^3 + 0a^2b^4 + 0ab^5 + b^6$

$= a^6 + 2a^3b^3 + b^6$

最終的に、$a^6 + 2a^3b^3 + b^6 = (a^2 + b^2)^3 - a^2b^2(a^2 + b^2)$.

$(a^3 + b^3)^2 = (a+b)^2(a^2 - ab + b^2)^2 = (a^6 + 2a^3b^3 + b^6) = (a^2+b^2)(a^4 - a^2 b^2 + b^4) = (a^6+b^6)$.

3. 最終的な答え

$a^6 + 2a^3b^3 + b^6$