$x = \frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$、 $y = \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$のとき、$x-y$の値を求めます。答えは$a\sqrt{b}$の形で表されます。

1. 問題の内容

$x = \frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$、 $y = \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$のとき、$x-y$の値を求めます。答えは$a\sqrt{b}$の形で表されます。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x$の分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{7}+\sqrt{3}$を掛けます。

$$x = \frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}+\sqrt{3}$$

$y$の分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{7}-\sqrt{3}$を掛けます。

$$y = \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$$

次に、$x-y$を計算します。

$$x-y = (\sqrt{7}+\sqrt{3}) - (\sqrt{7}-\sqrt{3}) = \sqrt{7}+\sqrt{3} - \sqrt{7} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

したがって、$x-y = 2\sqrt{3}$となります。

3. 最終的な答え

$x-y = 2\sqrt{3}$