数列 $3^2, 6^2, 9^2, 12^2, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $3^2, 6^2, 9^2, 12^2, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、この数列の第 $k$ 項を求めます。

第 $k$ 項は $(3k)^2 = 9k^2$ と表されます。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、次のようになります。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k)^2 = \sum_{k=1}^{n} 9k^2 = 9 \sum_{k=1}^{n} k^2$$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ は平方数の和の公式を使って計算できます。

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

したがって、

$$S_n = 9 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3n(n+1)(2n+1)}{2}$