$W = \{ \mathbf{x} \mid x_1 - x_2 = x_3 \}$ が $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定します。ここで $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)$ です。

1. 問題の内容

$W = \{ \mathbf{x} \mid x_1 - x_2 = x_3 \}$ が $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定します。ここで $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)$ です。

2. 解き方の手順

部分空間であるための条件は以下の3つです。

(1) 零ベクトル $\mathbf{0}$ が $W$ に含まれる。

(2) $W$ の任意のベクトル $\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ に対して、$\mathbf{u} + \mathbf{v}$ が $W$ に含まれる (加法について閉じている)。

(3) $W$ の任意のベクトル $\mathbf{u}$ と任意のスカラー $c$ に対して、$c\mathbf{u}$ が $W$ に含まれる (スカラー倍について閉じている)。

まず、零ベクトル $\mathbf{0} = (0, 0, 0)$ が $W$ に含まれるか確認します。

$x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0$ を $x_1 - x_2 = x_3$ に代入すると、$0 - 0 = 0$ となり、条件を満たします。したがって、零ベクトルは $W$ に含まれます。

次に、$W$ の任意のベクトル $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$ と $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ を考えます。これらは $u_1 - u_2 = u_3$ と $v_1 - v_2 = v_3$ を満たします。

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)$ が $W$ に含まれるためには、$(u_1 + v_1) - (u_2 + v_2) = u_3 + v_3$ が成り立つ必要があります。

$u_1 - u_2 = u_3$ と $v_1 - v_2 = v_3$ を足し合わせると、

$(u_1 - u_2) + (v_1 - v_2) = u_3 + v_3$

$u_1 + v_1 - u_2 - v_2 = u_3 + v_3$

$(u_1 + v_1) - (u_2 + v_2) = u_3 + v_3$

となり、条件を満たします。したがって、$W$ は加法について閉じています。

最後に、$W$ の任意のベクトル $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$ と任意のスカラー $c$ に対して、$c\mathbf{u} = (cu_1, cu_2, cu_3)$ が $W$ に含まれるか確認します。

$cu_1 - cu_2 = cu_3$ が成り立つ必要があります。

$\mathbf{u} \in W$ より、$u_1 - u_2 = u_3$ なので、この両辺を $c$ 倍すると、

$c(u_1 - u_2) = c u_3$

$cu_1 - cu_2 = cu_3$

となり、条件を満たします。したがって、$W$ はスカラー倍について閉じています。

以上の3つの条件を満たすので、$W$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間です。

3. 最終的な答え

はい。